$1 + cos θ + i sin θ$ の極形式

半角の公式で $1 + cos θ + i sin θ = 2 cos \frac{θ}{2} (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})$ と変形できる。 $cos \frac{θ}{2}$ の符号に注意して絶対値と偏角を求め、 $(1 + z)^{n}$ を含む式の偏角の条件を調べられる

前提

ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

説明

絶対値 1 の複素数 $z = cos θ + i sin θ$ に 1 を足した $1 + z = 1 + cos θ + i sin θ$ を、極形式（絶対値と偏角）で表せるようになります。極形式にできれば、ド・モアブルの定理で $(1 + z)^{n}$ を計算したり、その偏角の条件を調べたりできます。 $cos \frac{θ}{2}$ の符号によって絶対値と偏角の書き方が変わるところが大切です。

なぜそうしてよいのか

半角の公式と 2 倍角の公式から $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ 、 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ です。これを代入すると $1 + cos θ + i sin θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2} + 2 i sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 2 cos \frac{θ}{2} (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})$ となり、極形式に近い形が現れます。

ただし極形式 $r (cos α + i sin α)$ では絶対値 $r$ は正でなければなりません。前の係数 $2 cos \frac{θ}{2}$ は負になることもあるので、符号で場合を分けます。 $cos \frac{θ}{2} > 0$ なら、そのまま絶対値 $2 cos \frac{θ}{2}$ 、偏角 $\frac{θ}{2}$ です。 $cos \frac{θ}{2} < 0$ なら、 $- (cos α + i sin α) = cos (α + π) + i sin (α + π)$ を使って $1 + z = (- 2 cos \frac{θ}{2}) {cos (\frac{θ}{2} + π) + i sin (\frac{θ}{2} + π)}$ と書き直し、絶対値 $- 2 cos \frac{θ}{2}$ 、偏角 $\frac{θ}{2} + π$ となります。 $cos \frac{θ}{2} = 0$ のときは $1 + z = 0$ で、偏角は定まりません。

図で確かめておきます。 $1$ と $z$ はどちらも原点からの距離が 1 なので、4 点 $0, 1, 1 + z, z$ はひし形を作ります（ $z \neq = - 1$ のとき）。対角線 $0 \to 1 + z$ は、頂点 $0$ でのひし形の内角（ $π$ より小さい角）を二等分します。 $0 < θ < π$ のときはこの内角が $1$ から反時計回りに $θ$ 回った角なので、 $1 + z$ は偏角 $\frac{θ}{2}$ の向きです（このとき $cos \frac{θ}{2} > 0$ ）。一方 $π < θ < 2 π$ のときは、内角は $1$ から時計回りに $2 π - θ$ 回った角になり、その二等分線の偏角は $- \frac{2 π - θ}{2} = \frac{θ}{2} - π$ 、つまり $\frac{θ}{2} + π$ と同じ向きで、 $\frac{θ}{2}$ とはちょうど逆向きです（このとき $cos \frac{θ}{2} < 0$ ）。図からも、上の場合分けと同じ結果が得られます。

手順

半角・2 倍角の公式で書き換える: $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ , $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$
$2 cos \frac{θ}{2}$ でくくる: $1 + z = 2 cos \frac{θ}{2} (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})$
$θ$ の値や範囲から $cos \frac{θ}{2}$ の符号（正・負・0）を調べる
正なら絶対値 $2 cos \frac{θ}{2}$ ・偏角 $\frac{θ}{2}$ 、負なら絶対値 $- 2 cos \frac{θ}{2}$ ・偏角 $\frac{θ}{2} + π$ と極形式に直す（0 なら $1 + z = 0$ ）
$(1 + z)^{n}$ が必要なら、ド・モアブルの定理で $r^{n} (cos n α + i sin n α)$ を計算する

例題

$z = cos \frac{5 π}{3} + i sin \frac{5 π}{3}$ のとき、 $(1 + z)^{6}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順1・2: $θ = \frac{5 π}{3}$ として $1 + z = 2 cos \frac{5 π}{6} (cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6})$ と変形できる。
手順3: $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2} < 0$ なので、係数 $2 cos \frac{5 π}{6} = - 3$ は負である。
手順4: 負の場合なので、絶対値は $- 2 cos \frac{5 π}{6} = 3$ 、偏角は $\frac{5 π}{6} + π = \frac{11 π}{6}$ 。偏角は $2 π$ の整数倍の違いを無視してよいので $- \frac{π}{6}$ としてもよい。 $1 + z = 3 {cos (- \frac{π}{6}) + i sin (- \frac{π}{6})}$ （確認: 右辺 $= \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$ 、左辺 $= 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ で一致。 $π < θ < 2 π$ なので、図のとおり $1 + z$ は $\frac{5 π}{6}$ とは逆向きを向いている。）
手順5: ド・モアブルの定理より $(1 + z)^{6} = (3)^{6} {cos (- π) + i sin (- π)} = 27 \cdot (- 1) = - 27$

答え: $- 27$

よくある誤り

$cos \frac{θ}{2}$ の符号を確かめずに、絶対値を $2 cos \frac{θ}{2}$ 、偏角を $\frac{θ}{2}$ としてしまう誤り。例えば $θ = \frac{5 π}{3}$ では $2 cos \frac{5 π}{6} = - 3 < 0$ となり絶対値になれない。正しくは絶対値 $3$ 、偏角 $\frac{5 π}{6} + π = \frac{11 π}{6}$ 。
半角の公式を $1 + cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ と取り違える誤り。正しくは $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ （ $1 - cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ と混同しない）。
$cos \frac{θ}{2} = 0$ の場合を見落とす誤り。例えば $θ = π$ のとき $1 + z = 1 + (- 1) = 0$ で、偏角は定まらない。 $θ$ が文字のときは、この場合を除いてから極形式を考える。
$θ$ が範囲で与えられたとき（例: $0 < θ < 2 π$ ）、つねに $cos \frac{θ}{2} > 0$ だと思い込む誤り。正しくは $0 < θ < π$ で $cos \frac{θ}{2} > 0$ （偏角 $\frac{θ}{2}$ ）、 $π < θ < 2 π$ で $cos \frac{θ}{2} < 0$ （偏角 $\frac{θ}{2} + π$ ）となり、場合分けが必要。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$z^{n} = a$ の解を使った和と積（数学C 複素数平面）

1+cosθ+isinθ の極形式

前提

説明