複素数平面の問題

$1+z$ を極形式の形に直す。

半角の公式 $1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ と、2倍角の公式 $\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ を使うと、
$$1+z=2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$
となる。ただし $\cos \frac{\theta }{2}$ は負になることもあるので、これはそのままでは極形式ではない（絶対値は $2\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|$）。

$w$ を計算する。

ド・モアブルの定理より
$$(1+z{)}^{13}=2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{13\theta }{2}+i\sin \frac{13\theta }{2}\right)$$
である。また $|z|=1$ より $z\ne 0$ であり、
$$\frac{1}{z^3}=\cos (-3\theta )+i\sin (-3\theta )$$
である。偏角の和をとって $\frac{13\theta }{2}-3\theta =\frac{7\theta }{2}$ だから、
$$w=2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{7\theta }{2}+i\sin \frac{7\theta }{2}\right)$$
となる。

$0\leqq \theta <2\pi$ より $0\leqq \frac{\theta }{2}<\pi$ である。そこで $\cos \frac{\theta }{2}$ の符号で場合を分ける。

(i) $\theta =\pi$ のとき

$\cos \frac{\pi }{2}=0$ より $w=0$ となり、負の実数ではないので不適である。

(ii) $0\leqq \theta <\pi$ のとき

$\cos \frac{\theta }{2}>0$ なので、係数 $2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}$ は正である。よって $w$ が負の実数となる条件は
$$\cos \frac{7\theta }{2}=-1(\text{このとき }\sin \frac{7\theta }{2}=0\text{ も成り立つ})$$
である。$0\leqq \frac{7\theta }{2}<\frac{7\pi }{2}$ の範囲でこれを満たすのは $\frac{7\theta }{2}=\pi ,3\pi$ だから、
$$\theta =\frac{2}{7}\pi ,\frac{6}{7}\pi$$
となる。どちらも $0\leqq \theta <\pi$ を満たす。

(iii) $\pi <\theta <2\pi$ のとき

$\frac{\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\pi$ より $\cos \frac{\theta }{2}<0$ なので、係数 $2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}$ は負である。よって $w$ が負の実数となる条件は
$$\cos \frac{7\theta }{2}=1$$
である。$\frac{7\pi }{2}<\frac{7\theta }{2}<7\pi$ の範囲でこれを満たすのは $\frac{7\theta }{2}=4\pi ,6\pi$ だから、
$$\theta =\frac{8}{7}\pi ,\frac{12}{7}\pi$$
となる。

検算

$\theta =\frac{2}{7}\pi$ のとき、$w=2^{13}{\cos }^{13}\frac{\pi }{7}(\cos \pi +i\sin \pi )=-2^{13}{\cos }^{13}\frac{\pi }{7}<0$ となり、確かに負の実数である。

また $\theta$ を $2\pi -\theta$ に置き換えると $z$ は $\bar{z}$ に、$w$ は $\bar{w}$ に変わる。$w$ が実数なら $\bar{w}=w$ なので、解の集合は $\theta \to 2\pi -\theta$ で閉じている。実際、$\frac{2}{7}\pi$ と $\frac{12}{7}\pi$、$\frac{6}{7}\pi$ と $\frac{8}{7}\pi$ が対になっており、結果と矛盾しない。

以上より、求める $\theta$ は
$$\theta =\frac{2}{7}\pi ,\frac{6}{7}\pi ,\frac{8}{7}\pi ,\frac{12}{7}\pi$$
である。

$1+z=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$ なので、ド・モアブルの定理より $(1+z{)}^{13}=2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}(\cos \frac{13\theta }{2}+i\sin \frac{13\theta }{2})$。$z^{-3}$ の偏角は $-3\theta$ なので、
$w=2^{13}{\cos }^{13}\frac{\theta }{2}(\cos \frac{7\theta }{2}+i\sin \frac{7\theta }{2})$。
$0\le \theta <2\pi$ より $0\le \theta /2<\pi$。

(i) $0\le \theta <\pi$ のとき $\cos \frac{\theta }{2}>0$。$w<0$ となるには $\cos \frac{7\theta }{2}+i\sin \frac{7\theta }{2}=-1$、すなわち $\frac{7\theta }{2}=\pi +2k\pi$、$\theta =\frac{2(2k+1)\pi }{7}$。$0\le \theta <\pi$ を満たすのは $\theta =\frac{2\pi }{7},\frac{6\pi }{7}$。

(ii) $\theta =\pi$ のとき $1+z=0$ なので $w=0$ で不適。

(iii) $\pi <\theta <2\pi$ のとき $\cos \frac{\theta }{2}<0$。$w<0$ となるには $\cos \frac{7\theta }{2}+i\sin \frac{7\theta }{2}=1$、すなわち $\frac{7\theta }{2}=2k\pi$、$\theta =\frac{4k\pi }{7}$。$\pi <\theta <2\pi$ を満たすのは $k=2,3$ で $\theta =\frac{8\pi }{7},\frac{12\pi }{7}$。

検算：$\theta =\frac{8\pi }{7}$ のとき $\frac{7\theta }{2}=4\pi$ で偏角の因子は $1$、$\cos \frac{4\pi }{7}<0$ なので $w<0$。$\theta =\frac{2\pi }{7}$ のとき $\frac{7\theta }{2}=\pi$ で因子は $-1$、$\cos \frac{\pi }{7}>0$ なので $w<0$。

よって $\theta =\frac{2\pi }{7},\frac{6\pi }{7},\frac{8\pi }{7},\frac{12\pi }{7}$。