複素数平面の問題

$z\ne 0$ であり、両辺に $z$ を掛けると $z^2-\sqrt{3}z+1=0$。解の公式より
$$z=\frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{3-4}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}i=\cos \left(\pm \frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(\pm \frac{\pi }{6}\right)(\text{複号同順})$$
どちらの場合も $|z|=1$ なので $\frac{1}{z}=\overline{z}$。ド・モアブルの定理より
$$z^k+\frac{1}{z^k}=\left(\cos \frac{k\pi }{6}\pm i\sin \frac{k\pi }{6}\right)+\left(\cos \frac{k\pi }{6}\mp i\sin \frac{k\pi }{6}\right)=2\cos \frac{k\pi }{6}$$
となり、複号のどちらでも同じ値になる。よって
$$S=2\sum _{k=1}^{30}\cos \frac{k\pi }{6}$$
$\cos \frac{k\pi }{6}$ は $k$ について周期 $12$ をもち、$1$ 周期分の和は
$$\sum _{k=1}^{12}\cos \frac{k\pi }{6}=\mathrm{Re}\sum _{k=1}^{12}{z}^k=0$$
（$z^{12}=1$, $z\ne 1$ より ${\sum }_{k=1}^{12}{z}^k=\frac{z(z^{12}-1)}{z-1}=0$）。
$30=12\times 2+6$ なので
$$\sum _{k=1}^{30}\cos \frac{k\pi }{6}=\sum _{k=1}^6\cos \frac{k\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-1=-1$$
したがって
$$S=2\times (-1)=-2$$

$z^2-\sqrt{3}z+1=0$ より $z=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}=\cos \frac{\pi }{6}\pm i\sin \frac{\pi }{6}$。$z=\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$ としてよい（共役でも同じ値）。このとき $\frac{1}{z^k}=\cos \frac{k\pi }{6}-i\sin \frac{k\pi }{6}$ なので $z^k+\frac{1}{z^k}=2\cos \frac{k\pi }{6}$。周期は12で、${\sum }_{k=1}^{12}2\cos \frac{k\pi }{6}=0$。$30=12\cdot 2+6$ なので $S={\sum }_{k=1}^{6}2\cos \frac{k\pi }{6}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=-2$。検算：$z^6=\cos \pi +i\sin \pi =-1$、$z^{12}=1$ より ${\sum }_{k=1}^{12}{z}^k=z\frac{z^{12}-1}{z-1}=0$ で周期ごとの和が0であることも確認できる。