複素数平面の問題

$i$ を虚数単位とし、二項定理を用いて $(1+\sqrt{3}i{)}^{20}$ を展開すると
$$(1+\sqrt{3}i{)}^{20}=\sum _{j=0}^{20}{}_{20}{\mathrm{C}}_j(\sqrt{3}i{)}^j$$
となる。$j$ が偶数 $j=2k$ $(k=0,1,\dots ,10)$ の項では
$$(\sqrt{3}i{)}^{2k}={\left\{(\sqrt{3}i{)}^2\right\}}^k=(-3{)}^k$$
で実数となり、$j$ が奇数 $j=2k+1$ の項では $(\sqrt{3}i{)}^{2k+1}=(-3{)}^k\sqrt{3}i$ で純虚数（または $0$）となる。したがって
$$S=\sum _{k=0}^{10}(-3{)}^k{}_{20}{\mathrm{C}}_{2k}$$
は $(1+\sqrt{3}i{)}^{20}$ の実部に等しい。

一方、$|1+\sqrt{3}i|=\sqrt{1+3}=2$ より
$$1+\sqrt{3}i=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$
であるから、ド・モアブルの定理により
$$(1+\sqrt{3}i{)}^{20}=2^{20}\left(\cos \frac{20\pi }{3}+i\sin \frac{20\pi }{3}\right)$$
となる。$\frac{20\pi }{3}=6\pi +\frac{2\pi }{3}$ より
$$\cos \frac{20\pi }{3}=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2},\sin \frac{20\pi }{3}=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
なので
$$(1+\sqrt{3}i{)}^{20}=2^{20}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-2^{19}+2^{19}\sqrt{3}i$$
である。実部を比較して
$$S=-2^{19}=-524288$$

二項定理より $(1+i\sqrt{3}{)}^{20}={\sum }_{j=0}^{20}{}_{20}{\mathrm{C}}_j(i\sqrt{3}{)}^j$。偶数 $j=2k$ の項は $(i\sqrt{3}{)}^{2k}=(-3{)}^k$ で実数、奇数項は純虚数。よって実部は ${\sum }_{k=0}^{10}(-3{)}^k{}_{20}{\mathrm{C}}_{2k}=S$。一方 $1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ なので $(1+i\sqrt{3}{)}^{20}=2^{20}\left(\cos \frac{20\pi }{3}+i\sin \frac{20\pi }{3}\right)$。$\frac{20\pi }{3}=6\pi +\frac{2\pi }{3}$ より $\cos \frac{20\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。したがって $S=2^{20}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-2^{19}=-524288$。検算: 小さい例 $n=2$: $1-3\cdot 1=-2$、$2^2\cos (2\pi /3)=-2$ で一致。