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複素数平面の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学C 複素数平面

次の和 $S$ の値を求めよ。
$S = k = 0 \sum 4 cos^{10} \frac{2 k π}{5} = cos^{10} 0 + cos^{10} \frac{2 π}{5} + cos^{10} \frac{4 π}{5} + cos^{10} \frac{6 π}{5} + cos^{10} \frac{8 π}{5}$

この問題で使うもの

ド・モアブルの定理（説明と入口の問題）
複素数平面と絶対値・共役複素数（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
$z^{n} = a$ の解を使った和と積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$z = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$ とおき、ド・モアブルの定理を使って $cos \frac{2 k π}{5}$ を $z^{k}$ と $z^{- k}$ で表しましょう。

ヒント 2

$cos \frac{2 k π}{5} = \frac{z ^{k} + z ^{- k}}{2}$ を $10$ 乗して二項定理で展開し、 $k$ についての和を先に計算します。 $\sum_{k = 0}^{4} (z^{m})^{k}$ は、 $m$ が $5$ の倍数かどうかで値が変わります。

ヒント 3

$\sum_{k = 0}^{4} (z^{m})^{k}$ は $m$ が $5$ の倍数なら $5$ 、そうでなければ $0$ です。 $S = \frac{1}{1024} \sum_{j = 0}^{10}_{10} C_{j} \sum_{k = 0}^{4} (z^{10 - 2 j})^{k}$ の中で、 $10 - 2 j$ が $5$ の倍数になる $j$ をすべて探しましょう。

答えと解説

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\frac{635}{512}

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解説を読む

$i$ を虚数単位とし、 $z = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$ とおく。ド・モアブルの定理より、整数 $m$ に対して
$z^{m} = cos \frac{2 mπ}{5} + i sin \frac{2 mπ}{5}$
である。特に $z^{5} = 1$ であり、 $∣ z ∣ = 1$ より $z^{- 1} = z$ なので、 $k = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して
$z^{k} + z^{- k} = 2 cos \frac{2 k π}{5} すなわち cos \frac{2 k π}{5} = \frac{z ^{k} + z ^{- k}}{2}$
が成り立つ。よって、二項定理を用いると
$cos^{10} \frac{2 k π}{5} = \frac{1}{2 ^{10}} (z^{k} + z^{- k})^{10} = \frac{1}{1024} j = 0 \sum 10_{10} C_{j} z^{k (10 - 2 j)}$
したがって
$S = \frac{1}{1024} j = 0 \sum 10_{10} C_{j} (k = 0 \sum 4 (z^{10 - 2 j})^{k}) (1)$

ここで、整数 $m$ に対して $T_{m} = \sum_{k = 0}^{4} (z^{m})^{k}$ を考える。
- $m$ が $5$ の倍数のとき、 $z^{m} = cos 2 (\frac{m}{5}) π + i sin 2 (\frac{m}{5}) π = 1$ なので $T_{m} = 5$ 。
- $m$ が $5$ の倍数でないとき、 $z^{m} \neq = 1$ であり、 $(z^{m})^{5} = (z^{5})^{m} = 1$ なので、等比数列の和の公式より
$T_{m} = \frac{1 - ( z ^{m} ) ^{5}}{1 - z ^{m}} = 0$

$(1)$ において指数 $m = 10 - 2 j$ $(j = 0, 1, \dots, 10)$ がとる値は $10, 8, 6, \dots, - 8, - 10$ であり、このうち $5$ の倍数は $10, 0, - 10$ （それぞれ $j = 0, 5, 10$ ）だけである。よって
$S = \frac{1}{1024} (_{10} C_{0} +_{10} C_{5} +_{10} C_{10}) \cdot 5 = \frac{5 ( 1 + 252 + 1 )}{1024} = \frac{1270}{1024} = \frac{635}{512}$

（注）指数 $\pm 10$ の項を見落として $_{10} C_{5}$ だけを数えると $\frac{5 \cdot 252}{1024}$ となり誤りである。 $z^{10} = (z^{5})^{2} = 1$ であることに注意する。

別解

$ω = cos \frac{2 π}{5} + i sin \frac{2 π}{5}$ とおくと、 $z_{k} = ω^{k}$ $(k = 0, \dots, 4)$ は $z^{5} = 1$ の 5 つの解で、 $cos \frac{2 k π}{5} = \frac{z _{k} + z _{k}^{- 1}}{2}$ 。

二項定理より
$cos^{10} \frac{2 k π}{5} = \frac{1}{2 ^{10}} (z_{k} + z_{k}^{- 1})^{10} = \frac{1}{2 ^{10}} \sum_{j = 0}^{10}_{10} C_{j} z_{k}^{10 - 2 j}$ 。

$m$ を整数とするとき、 $\sum_{k = 0}^{4} ω^{k m}$ は、 $m$ が 5 の倍数なら $5$ 、そうでなければ等比数列の和で $\frac{1 - ω ^{5 m}}{1 - ω ^{m}} = 0$ 。

$10 - 2 j$ $(j = 0, 1, \dots, 10)$ は $10, 8, 6, \dots, - 10$ で、このうち 5 の倍数になるのは $10 (j = 0)$ 、 $0 (j = 5)$ 、 $- 10 (j = 10)$ の 3 つ。

よって
$S = \frac{5}{2 ^{10}} (_{10} C_{0} +_{10} C_{5} +_{10} C_{10}) = \frac{5 ( 1 + 252 + 1 )}{1024} = \frac{1270}{1024} = \frac{635}{512}$ 。

検算: $cos 0 = 1$ 、 $cos \frac{2 π}{5} \approx 0.3090$ 、 $cos \frac{4 π}{5} \approx - 0.8090$ 。 $S \approx 1 + 2 \times 0.309 0^{10} + 2 \times 0.809 0^{10} \approx 1 + 0.000016 + 0.24022 \approx 1.2402$ 。 $\frac{635}{512} \approx 1.2402$ で一致する。

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