複素数平面の問題

$t_k=\frac{1}{1-z_k}$ $(k=1,2,\dots ,6)$ とおく。$z_k\ne 1$ なので $t_k$ は定まり、求める和は $\sum _{k=1}^6|t_k{|}^2$ である。

$t_k$ の実部について

$|z_k{|}^7=|z_k^7|=1$ より $|z_k|=1$ なので、$\overline{z_k}=\frac{1}{z_k}$ である。よって
$$\overline{t_k}=\frac{1}{1-\overline{z_k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{z_k}}=\frac{z_k}{z_k-1}=-\frac{z_k}{1-z_k}$$
となり
$$t_k+\overline{t_k}=\frac{1-z_k}{1-z_k}=1,\overline{t_k}=1-t_k$$
である。したがって
$$|t_k{|}^2=t_k\overline{t_k}=t_k(1-t_k)=t_k-t_k^2$$
となり、
$$\sum _{k=1}^6|t_k{|}^2=\sum _{k=1}^6{t}_k-\sum _{k=1}^6{t}_k^2\cdots (1)$$
を求めればよい。

$t_k$ が満たす方程式

$t=\frac{1}{1-z}$ $(z\ne 1)$ のとき $t\ne 0$ で、$z=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$ である。これを $z^7=1$ に代入すると $(t-1{)}^7=t^7$、すなわち $t^7-(t-1{)}^7=0$ である。二項定理より
$$(t-1{)}^7=t^7-7t^6+21t^5-35t^4+35t^3-21t^2+7t-1$$
なので
$$7t^6-21t^5+35t^4-35t^3+21t^2-7t+1=0\cdots (2)$$
となる。$z_1,\dots ,z_6$ は互いに異なるから $t_1,\dots ,t_6$ も互いに異なり、いずれも $6$ 次方程式 $(2)$ の解である。よって $t_1,\dots ,t_6$ は $(2)$ の $6$ 個の解のすべてである。

解と係数の関係より
$$\sum _{k=1}^6{t}_k=\frac{21}{7}=3,\sum _{1\le j<k\le 6}{t}_j{t}_k=\frac{35}{7}=5$$
であるから
$$\sum _{k=1}^6{t}_k^2={\left(\sum _{k=1}^6{t}_k\right)}^2-2\sum _{1\le j<k\le 6}{t}_j{t}_k=9-10=-1$$

結論

$(1)$ より
$$\sum _{k=1}^6\frac{1}{|1-z_k{|}^2}=3-(-1)=4$$

（参考）$z_k=\cos \frac{2k\pi }{7}+i\sin \frac{2k\pi }{7}$ とすると $|1-z_k{|}^2=4{\sin }^2\frac{k\pi }{7}$ であり、数値計算でも $\sum _{k=1}^6\frac{1}{4{\sin }^2\frac{k\pi }{7}}=4$ が確かめられる。

$z_k=\cos {\theta }_k+i\sin {\theta }_k$, ${\theta }_k=\frac{2\pi k}{7}$ とする。$|1-z_k{|}^2=2-2\cos {\theta }_k=4{\sin }^2\frac{\pi k}{7}$。よって求める和は $\frac{1}{4}{\sum }_{k=1}^6\frac{1}{{\sin }^2(\pi k/7)}$。公式 ${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{{\sin }^2(\pi k/n)}=\frac{n^2-1}{3}$ より $n=7$ で $\frac{48}{3}=16$。したがって和は $\frac{16}{4}=4$。別解: $\frac{1}{1-z}$ の実部は $\frac{1}{2}$ であり、$\frac{1}{|1-z{|}^2}=\frac{1}{(1-z)(1-\bar{z})}$ と書けるが、$w_k=\frac{1}{1-z_k}$ は $(1-1/w{)}^7=1$、すなわち $(w-1{)}^7=w^7$ の根で、$w^6$ の係数から $\sum w_k=3$、${\sum }_{i<j}{w}_i{w}_j=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\cdot (-1{)}^{?}$ を用いると $\sum |w_k{|}^2=\sum w_k{\bar{w}}_k$ に帰着し、${\bar{w}}_k=1-w_k$ から $\sum |w_k{|}^2=\sum w_k(1-w_k)=3-\sum w_k^2$。多項式 $7w^6-21w^5+35w^4-\cdots$ より $\sum w_k=3$, ${\sum }_{i<j}{w}_i{w}_j=5$ なので $\sum w_k^2=9-10=-1$、よって $3-(-1)=4$。一致する。