複素数平面の問題

方針 方程式 $z^6=1$ の解を使って、$z^6-1$ を 1 次式の積に因数分解します。その式に $z=2$ を代入すると、$P$ が求められます。

ステップ 1：$z^6-1$ を解で因数分解する

方程式 $z^6=1$ の解は $1,z_1,z_2,z_3,z_4,z_5$ の $6$ 個で、これらはすべて異なります。$z^6-1$ は $z^6$ の係数が $1$ の $6$ 次式で、この $6$ 個の数を代入するといずれも $0$ になります。したがって、因数定理により、すべての複素数 $z$ について
$$z^6-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(1)$$
が成り立ちます。

ステップ 2：$z-1$ で割った式をつくる

左辺は
$$z^6-1=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)$$
と因数分解できます。これを $(1)$ と比べます。両辺の多項式を $z-1$ で割ると、多項式として
$$z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(2)$$
が成り立ちます。

ステップ 3：$z=2$ を代入する

$(2)$ に $z=2$ を代入すると、右辺はちょうど $P$ になります。左辺は
$$2^5+2^4+2^3+2^2+2+1=32+16+8+4+2+1=63$$
です。

(別の計算) $(1)$ に直接 $z=2$ を代入しても求められます。$2^6-1=(2-1)\cdot P$ より、$P=64-1=63$ です。

よって、$P=63$ です。

$z^6-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)$ が成り立つ。したがって $(z-z_1)\cdots (z-z_5)=\frac{z^6-1}{z-1}=z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$ である。
$z=2$ を代入すると $P=32+16+8+4+2+1=63$。
検算: $\frac{2^6-1}{2-1}=63$ で一致する。また、$z_1,\dots ,z_5$ は $z=-1$、および共役な複素数の組 $\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$、$\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ である。$2-(-1)=3$、$|2-\omega {|}^2=4-2+1=3$（$\omega =\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ の組）、$|2-{\omega }^{\prime }{|}^2=4+2+1=7$（${\omega }^{\prime }=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ の組）より、積は $3\cdot 3\cdot 7=63$ となり一致する。