複素数平面の問題

手順1：$z^5-1$ を因数分解する

$z=1$ は $z^5=1$ の解なので、因数定理より $z^5-1$ は $z-1$ で割り切れる。
$$z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$$

手順2：${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ がどの方程式の解かを確かめる

$z^5=1$ の $5$ 個の解は $1,{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ であり、これらは互いに異なる。${\alpha }_k\ne 1$ なので ${\alpha }_k-1\ne 0$ である。よって $({\alpha }_k-1)({\alpha }_k^4+{\alpha }_k^3+{\alpha }_k^2+{\alpha }_k+1)=0$ から
$${\alpha }_k^4+{\alpha }_k^3+{\alpha }_k^2+{\alpha }_k+1=0(k=1,2,3,4)$$
となる。つまり ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ は $4$ 次方程式 $z^4+z^3+z^2+z+1=0$ の $4$ 個の解である。

手順3：積の形で表す

$z^4+z^3+z^2+z+1$ は $z^4$ の係数が $1$ の $4$ 次式で、その $4$ 個の解が ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ である。よって、次の式は $z$ についての恒等式である。
$$z^4+z^3+z^2+z+1=(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)(z-{\alpha }_3)(z-{\alpha }_4)$$

手順4：$z=2$ を代入する

恒等式の両辺に $z=2$ を代入すると
$$2^4+2^3+2^2+2+1=(2-{\alpha }_1)(2-{\alpha }_2)(2-{\alpha }_3)(2-{\alpha }_4)$$
左辺は $16+8+4+2+1=31$ である。

したがって、求める値は $31$ である。

$z^5-1=(z-1)(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)(z-{\alpha }_3)(z-{\alpha }_4)$ が成り立つ。また $z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$ なので、$z\ne 1$ のとき $(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)(z-{\alpha }_3)(z-{\alpha }_4)=z^4+z^3+z^2+z+1$ であり、両辺は多項式として恒等的に等しい。

$z=2$ を代入すると $(2-{\alpha }_1)(2-{\alpha }_2)(2-{\alpha }_3)(2-{\alpha }_4)=16+8+4+2+1=31$。

検算：$(2^5-1)/(2-1)=31$ で一致する。