複素数平面の問題

方針 $z^5=1$ の解を具体的に求めずに、$z^5-1$ を解を使って因数分解した形を利用する。

手順1：$z^5-1$ を因数分解した形で表す

$z^5=1$ の解は、ド・モアブルの定理により
$$z_k=\cos \frac{2(k-1)\pi }{5}+i\sin \frac{2(k-1)\pi }{5}(k=1,2,3,4,5)$$
であり、これらは互いに異なる $5$ 個の複素数である。

$z_1,z_2,\dots ,z_5$ はどれも $z^5-1=0$ の解なので、因数定理より $z^5-1$ は $z-z_1,z-z_2,\dots ,z-z_5$ をすべて因数にもつ。$z^5-1$ は $z^5$ の係数が $1$ の $5$ 次式であるから、
$$z^5-1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)$$
が $z$ についての恒等式として成り立つ。

手順2：$z=2$ を代入する

この恒等式に $z=2$ を代入すると、
$$2^5-1=(2-z_1)(2-z_2)(2-z_3)(2-z_4)(2-z_5)$$
となる。左辺は $32-1=31$ である。

よって、求める積は
$$(2-z_1)(2-z_2)(2-z_3)(2-z_4)(2-z_5)=31$$
である。

$z^5-1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)$ が $z$ についての恒等式として成り立つ。
両辺に $z=2$ を代入すると、$2^5-1=(2-z_1)(2-z_2)(2-z_3)(2-z_4)(2-z_5)$ となる。
よって求める値は $32-1=31$。

検算: 解は $1$ と ${\omega }^k$（$\omega =e^{2\pi i/5}$, $k=1,2,3,4$）。$2-1=1$ であり、${\prod }_{k=1}^4(2-{\omega }^k)=\frac{2^5-1}{2-1}=31$ となる。これは $z^4+z^3+z^2+z+1$ に $z=2$ を代入した $16+8+4+2+1=31$ と一致する。したがって積は $1\times 31=31$。