複素数平面の問題

手順1：$z$ を極形式で表す。
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$、$0\leqq \theta <2\pi$）とおく。ド・モアブルの定理より
$$z^3=r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )$$

手順2：右辺 $8i$ を極形式で表す。
$8i$ は絶対値が $8$、偏角が $\frac{\pi }{2}$ なので
$$8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$$

手順3：絶対値と偏角を比べる。
$z^3=8i$ より
$$r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$$
絶対値を比べると $r^3=8$ で、$r>0$ より $r=2$。
偏角を比べると、$k$ を整数として
$$3\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi \text{すなわち}\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$$

手順4：$\theta$ の範囲から $k$ を決める。
$0\leqq \theta <2\pi$ を満たすのは $k=0,1,2$ で、
$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$$

手順5：$a+bi$ の形に直す。
- $k=0$：$z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$
- $k=1$：$z=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i$
- $k=2$：$z=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=2(0-i)=-2i$

よって、解は $z=\sqrt{3}+i,-\sqrt{3}+i,-2i$ である。

なお、これら $3$ つの点は複素数平面上で原点を中心とする半径 $2$ の円周上に、偏角が $\frac{2\pi }{3}$ ずつずれて並んでおり、正三角形の頂点になっている。

$8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$ なので、$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくと、$r^3=8$ より $r=2$、$3\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ より $\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$（$k=0,1,2$）。
$k=0$: $\theta =\frac{\pi }{6}$、$z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$。
$k=1$: $\theta =\frac{5\pi }{6}$、$z=-\sqrt{3}+i$。
$k=2$: $\theta =\frac{3\pi }{2}$、$z=-2i$。
検算: $(-2i{)}^3=-8i^3=-8(-i)=8i$。$(\sqrt{3}+i{)}^2=2+2\sqrt{3}i$、これに $\sqrt{3}+i$ を掛けると $2\sqrt{3}+2i+6i+2\sqrt{3}{i}^2=8i$。$(-\sqrt{3}+i)$ も同様に $8i$。