複素数平面の問題

手順1：右辺を極形式で表す。
$-4$ は絶対値が $4$、偏角が $\pi$ なので
$$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$$

手順2：$z$ を極形式でおく。
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$、$0\le \theta <2\pi$）とおくと、ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$

手順3：絶対値と偏角を比べる。
$z^4=-4$ より
$$r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )=4(\cos \pi +i\sin \pi )$$
両辺の絶対値を比べて $r^4=4$。$r>0$ なので $r=\sqrt{2}$。
偏角を比べて、$k$ を整数として
$$4\theta =\pi +2k\pi \text{すなわち}\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$$
$0\le \theta <2\pi$ の範囲では $k=0,1,2,3$ で
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$$

手順4：$a+bi$ の形に直す。
- $\theta =\frac{\pi }{4}$：$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=1+i$
- $\theta =\frac{3\pi }{4}$：$\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=-1+i$
- $\theta =\frac{5\pi }{4}$：$\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=-1-i$
- $\theta =\frac{7\pi }{4}$：$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=1-i$

よって解は
$$z=1+i,-1+i,-1-i,1-i$$
これらは複素数平面上で、原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円に内接する正方形の頂点になっている（偏角が $\frac{\pi }{2}$ ずつずれている）。

$z^4=-4$ を解く。$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$ なので、$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi +2k\pi }{4}+i\sin \frac{\pi +2k\pi }{4}\right)$ $(k=0,1,2,3)$。
$k=0$: $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=1+i$
$k=1$: $\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})=-1+i$
$k=2$: $-1-i$
$k=3$: $1-i$
別解: $z^4+4=(z^2+2{)}^2-4z^2=(z^2+2z+2)(z^2-2z+2)$ より、$z^2+2z+2=0$ から $z=-1\pm i$、$z^2-2z+2=0$ から $z=1\pm i$。
検算: $(1+i{)}^2=2i$, $(2i{)}^2=-4$。よって成り立つ。