複素数平面の問題

右辺を極形式で表す。
$$|-8+8\sqrt{3}i|=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$$
であり、$-8+8\sqrt{3}i=16\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ だから
$$-8+8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi \right)$$
である。

解を $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$, $0\leqq \theta <2\pi$）とおくと、ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$
これが右辺と等しいので、絶対値と偏角を比べて
$$r^4=16,4\theta =\frac{2}{3}\pi +2k\pi (k\text{ は整数})$$
$r>0$ より $r=2$。また $\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ であり、$0\leqq \theta <2\pi$ より $k=0,1,2,3$ で
$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{2}{3}\pi ,\frac{7}{6}\pi ,\frac{5}{3}\pi$$
それぞれ計算すると
- $\theta =\frac{\pi }{6}$: $z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$
- $\theta =\frac{2}{3}\pi$: $z=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+\sqrt{3}i$
- $\theta =\frac{7}{6}\pi$: $z=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}-i$
- $\theta =\frac{5}{3}\pi$: $z=2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-\sqrt{3}i$

（確認: $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2\sqrt{3}i-1=2+2\sqrt{3}i$、$(2+2\sqrt{3}i{)}^2=4+8\sqrt{3}i-12=-8+8\sqrt{3}i$ で正しい。）

よって求める解は
$$z=\sqrt{3}+i,-1+\sqrt{3}i,-\sqrt{3}-i,1-\sqrt{3}i$$

右辺を極形式にする。$|-8+8\sqrt{3}i|=\sqrt{64+192}=16$。偏角は $\cos \theta =-\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =\frac{2\pi }{3}$。よって $-8+8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$。

$z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ とおくと $r^4=16$ より $r=2$、$4\alpha =\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ より $\alpha =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ ($k=0,1,2,3$)。

$k=0$: $\alpha =\frac{\pi }{6}$、$z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$。
$k=1$: $\alpha =\frac{2\pi }{3}$、$z=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+\sqrt{3}i$。
$k=2$: $\alpha =\frac{7\pi }{6}$、$z=-\sqrt{3}-i$。
$k=3$: $\alpha =\frac{5\pi }{3}$、$z=1-\sqrt{3}i$。

検算: $(\sqrt{3}+i{)}^2=3-1+2\sqrt{3}i=2+2\sqrt{3}i$。これを2乗すると $4-12+8\sqrt{3}i=-8+8\sqrt{3}i$ となり、一致する。他の解は $i$ 倍、$-1$ 倍、$-i$ 倍の関係なので同様に成り立つ。