複素数平面の問題

手順 1：$z$ を極形式で表す。

$z$ の極形式を $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$、$0\le \theta <2\pi$）とおく。ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$
である。

手順 2：右辺 $-4$ を極形式で表す。

$-4$ は絶対値 $4$、偏角 $\pi$ なので
$$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$$
である。

手順 3：絶対値と偏角を比べる。

$z^4=-4$ より
$$r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )=4(\cos \pi +i\sin \pi )$$
両辺の絶対値を比べて $r^4=4$。$r>0$ より $r=\sqrt{2}$。

偏角を比べると、偏角は $2\pi$ の整数倍の違いを除いて等しいので、$k$ を整数として
$$4\theta =\pi +2k\pi \text{すなわち}\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$$
$0\le \theta <2\pi$ の範囲では $k=0,1,2,3$ で
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$$

手順 4：$a+bi$ の形に直す。

• $\theta =\frac{\pi }{4}$：$z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=1+i$
• $\theta =\frac{3\pi }{4}$：$z=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=-1+i$
• $\theta =\frac{5\pi }{4}$：$z=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=-1-i$
• $\theta =\frac{7\pi }{4}$：$z=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=1-i$

（確認：$(1+i{)}^2=2i$ より $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$。）

これら $4$ 個の解は、複素数平面上で原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上にあり、偏角が $\frac{\pi }{2}$ ずつずれているので、正方形の $4$ つの頂点になっている。

よって、解は $z=1+i,-1+i,-1-i,1-i$ である。

$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$ なので、$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi +2k\pi }{4}+i\sin \frac{\pi +2k\pi }{4}\right)$（$k=0,1,2,3$）。
$k=0$: $\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=1+i$
$k=1$: $\frac{3\pi }{4}$ より $-1+i$
$k=2$: $\frac{5\pi }{4}$ より $-1-i$
$k=3$: $\frac{7\pi }{4}$ より $1-i$
別解: $z^4+4=(z^2+2{)}^2-4z^2=(z^2+2z+2)(z^2-2z+2)$ より $z=-1\pm i,1\pm i$。
検算: $(1+i{)}^2=2i$、$(2i{)}^2=-4$ で成立。他の解も同様に $(\pm 1\pm i{)}^2=\pm 2i$ なので $z^4=-4$。