複素数平面の問題

手順1：右辺を極形式で表す。
$-16$ は絶対値が $16$、偏角が $\pi$ なので
$$-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$$

手順2：$z$ を極形式でおく。
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )(r>0,0\le \theta <2\pi )$ とおくと、ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$

手順3：絶対値と偏角を比べる。
$z^4=-16$ より
$$r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )=16(\cos \pi +i\sin \pi )$$
両辺の絶対値を比べて $r^4=16$。$r>0$ より $r=2$。
偏角を比べて、$k$ を整数として
$$4\theta =\pi +2k\pi \text{すなわち}\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$$
$0\le \theta <2\pi$ の範囲では $k=0,1,2,3$ で
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$$

手順4：$a+bi$ の形に直す。
- $\theta =\frac{\pi }{4}$：$z=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
- $\theta =\frac{3\pi }{4}$：$z=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
- $\theta =\frac{5\pi }{4}$：$z=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
- $\theta =\frac{7\pi }{4}$：$z=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

よって解は
$$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\sqrt{2}-\sqrt{2}i$$
これら $4$ 点は、複素数平面上で原点を中心とする半径 $2$ の円に内接する正方形の頂点になっている。

$-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$ なので、$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくと $r^4=16$、$4\theta =\pi +2k\pi$。よって $r=2$、$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$（$k=0,1,2,3$）。
$k=0$: $2(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
$k=1$: $2(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$
$k=2$: $-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
$k=3$: $\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
検算: $(\sqrt{2}+\sqrt{2}i{)}^2=2+4i-2=4i$、$(4i{)}^2=-16$。他の解も同様に成り立つ。
よって解は $z=\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{2}i$（複号任意の4個）。