複素数平面の問題

方針：$\frac{1}{1-z_k}$ の実部が一定であることに着目する。

$1^n=1\ne -1$ なので $z_k\ne 1$ であり、$S$ は定義される。また $|z_k{|}^n=|-1|=1$ より $|z_k|=1$ である。

1. 実部が $\frac{1}{2}$ になること

$|z|=1,z\ne 1$ のとき $\overline{z}=\frac{1}{z}$ だから、$w=\frac{1}{1-z}$ とおくと
$$w+\overline{w}=\frac{1}{1-z}+\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{1-z}-\frac{z}{1-z}=1$$
よって $w$ の実部は $\frac{1}{2}$ である。そこで $w_k=\frac{1}{1-z_k}=\frac{1}{2}+u_k$ とおくと、$u_k$ は純虚数または $0$ であり、$u_k^2=-|u_k{|}^2$ が成り立つ。したがって
$$\frac{1}{|1-z_k{|}^2}=|w_k{|}^2=\frac{1}{4}+|u_k{|}^2=\frac{1}{4}-u_k^2$$
となり、
$$S=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{4}-u_k^2\right)}^2=\frac{n}{16}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{u}_k^2+\sum _{k=1}^n{u}_k^4\cdots (1)$$

2. $u_k$ が満たす方程式

$w=\frac{1}{1-z}$ より $z=\frac{w-1}{w}$ であるから、$z^n=-1$ は $(w-1{)}^n+w^n=0$ と同値である。$w=u+\frac{1}{2}$ を代入すると
$${\left(u-\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^n=0$$
二項定理で展開すると、${\left(\frac{1}{2}\right)}^j$ の奇数次の項は打ち消し合い、
$$2\left\{u^n+\frac{{}_n{\mathrm{C}}_2}{4}{u}^{n-2}+\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4}{16}{u}^{n-4}+\cdots \right\}=0$$
となる（${}_n{\mathrm{C}}_j$ は $j>n$ のとき $0$ と考える）。$z\mapsto u=\frac{1}{1-z}-\frac{1}{2}$ は異なる $z$ を異なる $u$ に移すので、$u_1,\dots ,u_n$ はこの $n$ 次方程式の $n$ 個の解すべてである。解と係数の関係より、
$$e_1=\sum u_k=0,e_2=\sum _{i<j}{u}_i{u}_j=\frac{n(n-1)}{8},e_3=\sum _{i<j<l}{u}_i{u}_j{u}_l=0,e_4=\sum _{i<j<l<m}{u}_i{u}_j{u}_l{u}_m=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{384}$$
（$n<4$ のときは該当する和を $0$ とすればよく、上の式もそのまま成り立つ）。

3. べき乗の和の計算

$$\sum u_k^2=e_1^2-2e_2=-\frac{n(n-1)}{4}$$
次に $e_2^2={\left({\sum }_{i<j}{u}_i{u}_j\right)}^2$ を展開すると、同じ組どうしの積から ${\sum }_{i<j}{u}_i^2{u}_j^2$、1 つの添字だけを共有する 2 組の積から $u_i^2{u}_j{u}_l$ 型の項（各 2 回）、共有しない 2 組の積から $u_i{u}_j{u}_l{u}_m$ 型の項（各 6 回）が出る。$u_i^2{u}_j{u}_l$ 型の項の和を $A$ とすると
$$e_2^2=\sum _{i<j}{u}_i^2{u}_j^2+2A+6e_4,e_1{e}_3=A+4e_4$$
であるから、$e_1=e_3=0$ より $\sum _{i<j}{u}_i^2{u}_j^2=e_2^2+2e_4$。よって
$$\sum u_k^4={\left(\sum u_k^2\right)}^2-2\sum _{i<j}{u}_i^2{u}_j^2=4e_2^2-2(e_2^2+2e_4)=2e_2^2-4e_4$$
$$=\frac{n^2(n-1{)}^2}{32}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{96}$$

4. まとめ

$(1)$ に代入して
$$S=\frac{n}{16}+\frac{n(n-1)}{8}+\frac{n^2(n-1{)}^2}{32}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{96}$$
分母を $96$ にそろえると、分子は
$$6n+12n(n-1)+3n^2(n-1{)}^2-n(n-1)(n-2)(n-3)$$
$$=6n+(12n^2-12n)+(3n^4-6n^3+3n^2)-(n^4-6n^3+11n^2-6n)=2n^4+4n^2$$
したがって
$$S=\frac{2n^4+4n^2}{96}=\frac{n^2(n^2+2)}{48}$$

（確認：$n=3$ のとき解は $-1,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ で、$\frac{1}{2^4}+1+1=\frac{33}{16}$、公式でも $\frac{9\cdot 11}{48}=\frac{33}{16}$ となり一致する。）

$z_k\ne 1$ なので $u_k=\frac{1}{1-z_k}$ とおく。$z_k=1-\frac{1}{u_k}=\frac{u_k-1}{u_k}$ を $z^n=-1$ に代入して $(u-1{)}^n+u^n=0$。これは $u$ の $n$ 次方程式で、解は $u_1,\dots ,u_n$（$z\ne 1$ と $u$ の対応は 1 対 1）。

$|z_k|=1$ より $|1-z_k{|}^2=(1-z_k)(1-{\bar{z}}_k)=2-z_k-{\bar{z}}_k$、また $u_k+{\bar{u}}_k=\frac{(1-{\bar{z}}_k)+(1-z_k)}{|1-z_k{|}^2}=\frac{2-z_k-{\bar{z}}_k}{|1-z_k{|}^2}=1$。よって $\mathrm{Re}{u}_k=\frac{1}{2}$ で、$u_k=\frac{1}{2}+v_k$（$v_k$ は純虚数、$v_k=i{s}_k$、$s_k$ は実数）と書ける。

$u=\frac{1}{2}+v$ を代入すると $(v+\frac{1}{2}{)}^n+(v-\frac{1}{2}{)}^n=2\left[v^n+{}_n{\mathrm{C}}_2\frac{1}{4}{v}^{n-2}+{}_n{\mathrm{C}}_4\frac{1}{16}{v}^{n-4}+\cdots \right]=0$。解と係数の関係より、$v_k$ の基本対称式は $e_1=0,e_2=\frac{{}_n{\mathrm{C}}_2}{4},e_3=0,e_4=\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4}{16}$。

べき和（ニュートンの恒等式）: $p_2=e_1^2-2e_2=-\frac{{}_n{\mathrm{C}}_2}{2}$、$p_4=-e_2{p}_2-4e_4=\frac{({}_n{\mathrm{C}}_2{)}^2}{8}-\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4}{4}$。
$v_k^2=-s_k^2,v_k^4=s_k^4$ なので $\sum s_k^2=\frac{{}_n{\mathrm{C}}_2}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$、$\sum s_k^4=p_4$。

$\frac{1}{|1-z_k{|}^4}=|u_k{|}^4={\left(\frac{1}{4}+s_k^2\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{s_k^2}{2}+s_k^4$ より
$S=\frac{n}{16}+\frac{n(n-1)}{8}+\frac{({}_n{\mathrm{C}}_2{)}^2}{8}-\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4}{4}$。
$({}_n{\mathrm{C}}_2{)}^2=\frac{n^2(n-1{)}^2}{4}$、${}_n{\mathrm{C}}_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$（$n\le 3$ では 0 で式も成り立つ）を代入して整理すると
$S=\frac{n}{96}\left[6+12(n-1)+3n(n-1{)}^2-n...\right]$ ではなく、通分して計算すると $S=\frac{n^2(n^2+2)}{48}$。

検算: $n=1$: $z=-1$、$S=\frac{1}{16}$、式は $\frac{3}{48}=\frac{1}{16}$。$n=2$: $z=\pm i$、$|1-z{|}^2=2$、$S=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$、式は $\frac{4\cdot 6}{48}=\frac{1}{2}$。$n=3$: 上の和の式で $\frac{3}{16}+\frac{6}{8}+\frac{9}{8}=\frac{33}{16}$、式は $\frac{9\cdot 11}{48}=\frac{33}{16}$。一致。