複素数平面の問題

解を極形式で求める。

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ $(r>0,0\le \theta <2\pi )$ とおく。ド・モアブルの定理より
$$z^6=r^6(\cos 6\theta +i\sin 6\theta )$$
である。一方、$-27=27(\cos \pi +i\sin \pi )$ である。

両辺の絶対値と偏角を比べると、$r^6=27$ より $r=\sqrt{3}$ である。また、$k$ を整数として $6\theta =\pi +2k\pi$ より
$$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$$
となる。$0\le \theta <2\pi$ から $k=0,1,2,3,4,5$ であり、偏角は $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$ の $6$ 個である。

したがって、$6$ 個の解は複素数平面上で、原点を中心とする半径 $\sqrt{3}$ の円周上に $\frac{\pi }{3}$ ずつ等間隔に並ぶ。つまり正六角形の頂点をなす。

2 点間の距離を求める。

半径 $\sqrt{3}$ の円周上の $2$ 点について、原点から見た中心角を $\phi$ とすると、二等辺三角形の性質より $2$ 点間の距離は $2\sqrt{3}\sin \frac{\phi }{2}$ である。

• 隣り合う $2$ 頂点($\phi =\frac{\pi }{3}$): 距離は $2\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$ で、$2$ 乗は $3$ である。このような組は $6$ 個ある。
• $1$ つおきの $2$ 頂点($\phi =\frac{2\pi }{3}$): 距離は $2\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3}=3$ で、$2$ 乗は $9$ である。このような組は $6$ 個ある。
• 向かい合う $2$ 頂点($\phi =\pi$): 距離は $2\sqrt{3}$ で、$2$ 乗は $12$ である。このような組は $3$ 個ある。

組の個数の合計は $6+6+3=15={}_6{\mathrm{C}}_2$ であり、すべての組を数え尽くしている。

和を計算する。
$$\sum _{1\le j<k\le 6}|z_j-z_k{|}^2=6\cdot 3+6\cdot 9+3\cdot 12=18+54+36=108$$

(別解)$|z_j-z_k{|}^2=|z_j{|}^2+|z_k{|}^2-(z_j\overline{z_k}+\overline{z_j}{z}_k)$ を用いると、
$$\sum _{j<k}|z_j-z_k{|}^2=6\sum _{j=1}^6|z_j{|}^2-{\left|\sum _{j=1}^6{z}_j\right|}^2$$
となる。$|z_j{|}^2=3$ であり、$z^6+27=0$ の $z^5$ の係数が $0$ であることから $\sum _{j=1}^6{z}_j=0$ である。よって和は $6\cdot 18-0=108$ である。

答えは $108$ である。

$z^6=-27$ の解は、絶対値が $r=27^{1/6}=\sqrt{3}$ の円周上にある正六角形の頂点である。

一般に、$n$ 個の点 $z_j$ について ${\sum }_{j<k}|z_j-z_k{|}^2=n\sum |z_j{|}^2-{\left|\sum z_j\right|}^2$ が成り立つ。

ここで $n=6$、各 $|z_j{|}^2=3$ なので $\sum |z_j{|}^2=18$。
解と係数の関係より $\sum z_j=0$（$z^6+27=0$ の $z^5$ の係数が $0$）。

よって和は $6\cdot 18-0=108$。

検算：$|z_j-z_k{|}^2=2r^2-2r^2\cos \theta =6(1-\cos \theta )$。
正六角形の15組の内訳は、角度 $60°$ が6組、$120°$ が6組、$180°$ が3組。
$6(1-\frac{1}{2})=3$ が6組で $18$。
$6(1+\frac{1}{2})=9$ が6組で $54$。
$6\cdot 2=12$ が3組で $36$。
合計 $18+54+36=108$。一致する。