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複素数平面の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学C 複素数平面

次の和 $S$ の値を求めよ。
$S =_{15} C_{0} - 3 \cdot_{15} C_{2} + 3^{2} \cdot_{15} C_{4} - 3^{3} \cdot_{15} C_{6} + \dots + 3^{6} \cdot_{15} C_{12} - 3^{7} \cdot_{15} C_{14}$
すなわち $S = k = 0 \sum 7 (- 3)^{k}_{15} C_{2 k}$ である。

この問題で使うもの

極形式と積・商（説明と入口の問題）
ド・モアブルの定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

係数 $(- 3)^{k} = (3 i)^{2 k}$ に注目し、ある複素数の $15$ 乗を二項定理で展開したときの実部として $S$ を表してみよう。

ヒント 2

$S = Re (1 + 3 i)^{15}$ である。 $1 + 3 i$ を極形式で表し、ド・モアブルの定理を使う。

ヒント 3

$1 + 3 i = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ なので、 $(1 + 3 i)^{15} = 2^{15} (cos 5 π + i sin 5 π)$ となる。

答えと解説

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- 32768

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解説を読む

$i$ を虚数単位とし、 $(1 + 3 i)^{15}$ を二項定理で展開すると
$(1 + 3 i)^{15} = m = 0 \sum 15_{15} C_{m} (3 i)^{m}$
となる。 $m = 2 k$ （偶数）の項は $(3 i)^{2 k} = 3^{k} i^{2 k} = (- 3)^{k}$ なので実数であり、 $m$ が奇数の項は $(3 i)^{2 k + 1} = (- 3)^{k} 3 i$ なので純虚数である。よって
$Re (1 + 3 i)^{15} = k = 0 \sum 7 (- 3)^{k}_{15} C_{2 k} = S$
である。

一方、 $1 + 3 i$ を極形式で表すと、 $∣1 + 3 i ∣ = 1 + 3 = 2$ より
$1 + 3 i = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$
ド・モアブルの定理より
$(1 + 3 i)^{15} = 2^{15} (cos 5 π + i sin 5 π) = 2^{15} \cdot (- 1 + 0 \cdot i) = - 32768$
したがって実部を比較して
$S = - 32768$
（確認: 同じ方法で $n = 3$ のとき $_{3} C_{0} - 3 \cdot_{3} C_{2} = 1 - 9 = - 8$ であり、 $(1 + 3 i)^{3} = 8 (cos π + i sin π) = - 8$ と一致する。）

別解

$(1 + i 3)^{15} = \sum_{j = 0}^{15}_{15} C_{j} (i 3)^{j}$ の実部は $j = 2 k$ の項で、 $(i 3)^{2 k} = (- 3)^{k}$ なので $Re (1 + i 3)^{15} = \sum_{k = 0}^{7} (- 3)^{k}_{15} C_{2 k} = S$ である。一方 $1 + i 3 = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ なので、ド・モアブルの定理より $(1 + i 3)^{15} = 2^{15} (cos 5 π + i sin 5 π) = - 2^{15}$ 。よって $S = - 32768$ 。検算：同様に小さい場合 $n = 3$ で $1 - 3 \cdot 3 = - 8 = Re (1 + i 3)^{3} = 2^{3} cos π = - 8$ となり一致する。

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