複素数平面の問題

$|z|=1$ より $z\ne 0$ で、$z^{-1}=\bar{z}=\cos \theta -i\sin \theta$ である。ド・モアブルの定理より、整数 $k$ に対して $z^k+z^{-k}=2\cos k\theta$ が成り立つ。

$w$ から $z^4$ をくくり出すと
$$w=z^4\left(z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2\right)=z^4\left\{1+(z+z^{-1})+(z^2+z^{-2})\right\}$$
となる。
$$f=1+2\cos \theta +2\cos 2\theta$$
とおくと、$f$ は実数で $w=z^{4}f$ である。

$w$ が正の実数であるとき、$w\ne 0$ より $f\ne 0$ であり、$z^4=\frac{w}{f}$ は実数になる。さらに $|z^4|=|z{|}^4=1$ だから $z^4=1$ または $z^4=-1$ である。
- $z^4=1$ のとき、$w=f$ なので条件は $f>0$ である。
- $z^4=-1$ のとき、$w=-f$ なので条件は $f<0$ である。

逆に、これらを満たせば $w$ は正の実数になる。

(i) $z^4=1$ の場合

$z^4=\cos 4\theta +i\sin 4\theta =1$ より $4\theta =2n\pi$（$n$ は整数）である。$0\leqq \theta <2\pi$ から $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3}{2}\pi$ となる。それぞれ $f$ を計算する。
- $\theta =0$：$f=1+2+2=5>0$ なので適する。
- $\theta =\frac{\pi }{2}$：$f=1+0+2\cdot (-1)=-1<0$ なので不適。
- $\theta =\pi$：$f=1-2+2=1>0$ なので適する。
- $\theta =\frac{3}{2}\pi$：$f=1+0+2\cdot (-1)=-1<0$ なので不適。

(ii) $z^4=-1$ の場合

$4\theta =\pi +2n\pi$（$n$ は整数）より $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$ となる。これらでは $2\theta$ が $\frac{\pi }{2}$ の奇数倍なので $\cos 2\theta =0$ であり、$f=1+2\cos \theta$ となる。
- $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{7}{4}\pi$：$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ より $f=1+\sqrt{2}>0$ なので不適。
- $\theta =\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi$：$\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ より $f=1-\sqrt{2}<0$ なので適する。このとき $w=-f=\sqrt{2}-1>0$ である。

(i)、(ii) より、求める $\theta$ は
$$\theta =0,\frac{3}{4}\pi ,\pi ,\frac{5}{4}\pi$$
である。

$|z|=1$ なので $\bar{z}=z^{-1}$ である。
$w=z^2(1+z+z^2+z^3+z^4)=z^4(z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2)=z^4(1+2\cos \theta +2\cos 2\theta )$。
$k=1+2\cos \theta +2\cos 2\theta =4{\cos }^2\theta +2\cos \theta -1$ とおくと、$k$ は実数で $w=k(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$ である。
$w$ が正の実数になるのは $k\ne 0$ かつ次のどちらかの場合である。
(A) $k>0$ かつ $e^{4i\theta }=1$
(B) $k<0$ かつ $e^{4i\theta }=-1$

(A) $\theta =\frac{n\pi }{2}$ より $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$。
$\theta =0$ のとき $k=5>0$ で適する。
$\theta =\pi$ のとき $k=4-2-1=1>0$ で適する。
$\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ のとき $\cos \theta =0$ で $k=-1<0$ なので不適。

(B) $4\theta =(2n+1)\pi$ より $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$。このとき ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$ なので $k=2+2\cos \theta -1=1+2\cos \theta$ である。
$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $k=1+\sqrt{2}>0$ なので不適($\theta =\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$)。
$\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $k=1-\sqrt{2}<0$ なので適する($\theta =\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$)。

検算: $\theta =0$ では $z=1$ で $w=5>0$。$\theta =\pi$ では $z=-1$ で $w=1-1+1-1+1=1>0$。いずれも正の実数である。

よって $\theta =0,\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4}$。