複素数平面の問題

半角の公式・2倍角の公式より $1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$, $\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ なので
$$z=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$
ド・モアブルの定理より
$$z^5=32{\cos }^5\frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{5\theta }{2}+i\sin \frac{5\theta }{2}\right)$$
ここで $0<\frac{\theta }{2}<\pi$ であり、$2\cos \frac{\theta }{2}$ の符号によって場合分けする（これが絶対値になるとは限らないことに注意）。

(i) $\theta =\pi$ のとき、$z=0$ なので $z^5=0$ は正の実数でない。

(ii) $0<\theta <\pi$ のとき、$\cos \frac{\theta }{2}>0$ なので $32{\cos }^5\frac{\theta }{2}>0$。$z^5$ が正の実数となる条件は $\cos \frac{5\theta }{2}=1$ すなわち $\frac{5\theta }{2}=2k\pi$（$k$ は整数）、$\theta =\frac{4k\pi }{5}$。$0<\theta <\pi$ を満たすのは $k=1$ の $\theta =\frac{4}{5}\pi$。

(iii) $\pi <\theta <2\pi$ のとき、$\cos \frac{\theta }{2}<0$ なので $32{\cos }^5\frac{\theta }{2}<0$。$z^5$ が正の実数となる条件は $\cos \frac{5\theta }{2}=-1$ すなわち $\frac{5\theta }{2}=\pi +2k\pi$、$\theta =\frac{(4k+2)\pi }{5}$。$k=0,1,2$ で $\theta =\frac{2}{5}\pi ,\frac{6}{5}\pi ,2\pi$ となり、$\pi <\theta <2\pi$ を満たすのは $\theta =\frac{6}{5}\pi$。

以上より
$$\theta =\frac{4}{5}\pi ,\frac{6}{5}\pi$$
（確認: $\theta$ を $2\pi -\theta$ に替えると $z$ は共役複素数になるので、解の集合は $\theta =\pi$ に関して対称であり、結果と合う。）

$z=1+\cos \theta +i\sin \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$。$0<\theta <2\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\pi$。$r=2\cos \frac{\theta }{2}$ とおくと $z^5=r^5\left(\cos \frac{5\theta }{2}+i\sin \frac{5\theta }{2}\right)$。$\theta =\pi$ のとき $z=0$ で不適。
(i) $0<\theta <\pi$ のとき $r>0$。正の実数になる条件は $\frac{5\theta }{2}=2m\pi$、$\theta =\frac{4m\pi }{5}$。$0<\theta <\pi$ より $m=1$、$\theta =\frac{4\pi }{5}$。
(ii) $\pi <\theta <2\pi$ のとき $r<0$、$r^5<0$。正の実数になる条件は $\cos \frac{5\theta }{2}+i\sin \frac{5\theta }{2}=-1$、すなわち $\frac{5\theta }{2}=\pi +2m\pi$、$\theta =\frac{2\pi }{5}+\frac{4m\pi }{5}$。$\pi <\theta <2\pi$ より $\theta =\frac{6\pi }{5}$（$m=1$）。
検算：$\theta =\frac{4\pi }{5}$ で $z=r{e}^{i2\pi /5}$、$r>0$、$z^5=r^5>0$。$\theta =\frac{6\pi }{5}$ で $z=r{e}^{i3\pi /5}$、$r<0$、$z^5=r^5{e}^{3\pi i}=-r^5>0$。よって $\theta =\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5}$。