複素数平面の問題

手順1：半角の公式で $1+\cos \theta$ と $\sin \theta$ を書きかえる。

半角の公式（2倍角の公式）より
$$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2},\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$$
である。これを代入すると
$$z=2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}.$$

手順2：共通因数 $2\cos \frac{\theta }{2}$ でくくる。
$$z=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right).$$

手順3：$\cos \frac{\theta }{2}$ の符号を調べる。

$0<\theta <\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$ なので、$\cos \frac{\theta }{2}>0$ である。よって $2\cos \frac{\theta }{2}$ は正の実数であり、手順2の式はそのまま極形式 $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$（$r>0$）の形になっている。

したがって、$z$ の絶対値は $2\cos \frac{\theta }{2}$、偏角の1つは $\frac{\theta }{2}$ である。

（確認：$|z{|}^2=(1+\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta =2+2\cos \theta =4{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ となり、$\cos \frac{\theta }{2}>0$ から $|z|=2\cos \frac{\theta }{2}$ と一致する。）

答え：$|z|=2\cos \frac{\theta }{2}$

半角の公式より $1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$、$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ なので、
$$z=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$
$0<\theta <\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$ なので $\cos \frac{\theta }{2}>0$。よって上の式は極形式であり、$|z|=2\cos \frac{\theta }{2}$、偏角は $\frac{\theta }{2}$ である。
検算：$|z{|}^2=(1+\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta =2+2\cos \theta =4{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ となり、$\cos \frac{\theta }{2}>0$ より $|z|=2\cos \frac{\theta }{2}$ で一致する。