複素数平面の問題

方針 $1+\cos \theta +i\sin \theta$ を半角の公式で極形式に直してから、ド・モアブルの定理を使います。

ステップ1：半角の公式で変形する

半角の公式（2倍角の公式）
$$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2},\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$$
より、
$$1+\cos \theta +i\sin \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$
となります。

ステップ2：$\theta =\frac{\pi }{3}$ を代入し、符号を確認する

$\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$ で、$2\cos \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}>0$ です。正の数なので、これがそのまま絶対値になります。よって
$$1+\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$
で、絶対値は $\sqrt{3}$、偏角は $\frac{\pi }{6}$ です。

（確認：左辺は $1+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$、右辺は $\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ で一致します。）

ステップ3：ド・モアブルの定理で 6 乗する
$${\left\{\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\right\}}^6=(\sqrt{3}{)}^6\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=27\cdot (-1+0\cdot i)=-27$$

したがって、求める値は $-27$ です。

$1+\cos \theta +i\sin \theta$ を半角の公式で変形する。$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$、$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ より、
$1+\cos \theta +i\sin \theta =2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$。
$\theta =\frac{\pi }{3}$ のとき、$2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$ なので、
$1+\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$。
ド・モアブルの定理より、
$(\sqrt{3}{)}^6\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=27\cdot (-1)=-27$。
検算：$1+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$。絶対値は $\sqrt{(9+3)/4}=\sqrt{3}$、偏角は ${\tan }^{-1}(\sqrt{3}/3)=\pi /6$ で一致する。したがって値は $-27$。