複素数平面の問題

方針 極形式で表された複素数の商は、次の性質を使うと計算できる。

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$, $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$（$r_2\ne 0$）のとき
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\}$$
つまり、絶対値は割り算、偏角は引き算になる。

手順 1：絶対値と偏角を読み取る

$\alpha$ の絶対値は $4$、偏角は $\frac{5}{12}\pi$。

$\beta$ の絶対値は $2$、偏角は $\frac{\pi }{12}$。

手順 2：商の絶対値と偏角を求める

絶対値：$\frac{4}{2}=2$

偏角：$\frac{5}{12}\pi -\frac{\pi }{12}=\frac{4}{12}\pi =\frac{\pi }{3}$

よって
$$\frac{\alpha }{\beta }=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$

手順 3：$a+bi$ の形に直す

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから
$$\frac{\alpha }{\beta }=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$$

答え：$1+\sqrt{3}i$

極形式の割り算では、絶対値は商、偏角は差になる。$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{4}{2}\left\{\cos \left(\frac{5}{12}\pi -\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(\frac{5}{12}\pi -\frac{\pi }{12}\right)\right\}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$。$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\frac{\alpha }{\beta }=1+\sqrt{3}i$。検算：$\beta \cdot (1+\sqrt{3}i)=2\cdot 2\left(\cos \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=4\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)=\alpha$ となり一致する。