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複素数平面の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 複素数平面

$i$ を虚数単位とする。2 つの複素数 $α, β$ を
$α = 4 (cos \frac{7}{12} π + i sin \frac{7}{12} π), β = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$
と定める。 $\frac{α}{β}$ の値を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。

この問題で使うもの

極形式と積・商（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「極形式と積・商」を使います。 $α, β$ はすでに極形式で表されているので、 $a + bi$ の形に直さずに商を計算できます。

ヒント 2

商の絶対値は「絶対値の商」、商の偏角は「偏角の差」です。 $\frac{α}{β} = \frac{∣ α ∣}{∣ β ∣}$ 、偏角は $\frac{7}{12} π - \frac{π}{4}$ を計算します。

ヒント 3

絶対値は $\frac{4}{2} = 2$ 、偏角は $\frac{7}{12} π - \frac{3}{12} π = \frac{π}{3}$ なので、 $\frac{α}{β} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ です。あとは三角関数の値を代入します。

答えと解説

答えを見る

1 + 3 i

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解説を読む

極形式で表された複素数の商は、次の規則で求められます。
$\frac{r _{1} ( cos θ _{1} + i sin θ _{1} )}{r _{2} ( cos θ _{2} + i sin θ _{2} )} = \frac{r _{1}}{r _{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2})}$
つまり、商の絶対値は絶対値の商、商の偏角は偏角の差になります。

手順1：絶対値を求める。
$α$ の絶対値は $4$ 、 $β$ の絶対値は $2$ なので
$\frac{α}{β} = \frac{4}{2} = 2$

手順2：偏角を求める。
$α$ の偏角は $\frac{7}{12} π$ 、 $β$ の偏角は $\frac{π}{4} = \frac{3}{12} π$ なので、偏角の差は
$\frac{7}{12} π - \frac{3}{12} π = \frac{4}{12} π = \frac{π}{3}$

手順3：極形式から $a + bi$ の形に直す。
$\frac{α}{β} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = 1 + 3 i$

よって、答えは $1 + 3 i$ です。

別解

極形式の割り算では、絶対値は割り算、偏角は引き算になる。
$\frac{α}{β} = \frac{4}{2} {cos (\frac{7}{12} π - \frac{π}{4}) + i sin (\frac{7}{12} π - \frac{π}{4})}$
偏角は $\frac{7}{12} π - \frac{3}{12} π = \frac{4}{12} π = \frac{π}{3}$ となる。
よって $\frac{α}{β} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = 1 + 3 i$ 。
検算： $β \cdot (1 + 3 i) = 2 \cdot 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ の偏角は $\frac{π}{4} + \frac{π}{3} = \frac{7}{12} π$ 、絶対値は $4$ で $α$ に一致する。

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