最小分解体とガロア群の位数

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式 $$f(x)=x^4-5$$ の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=x^4-4x^2-5$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式 $$f(x)=x^4-5$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。ここで $L$ は、複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体である。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^2-2)(x^2+3)(x^2-6)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$L$ を多項式 $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=4$ であるものの個数を求めよ。

$$f(x)=x^4-2x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$$ とし、$L$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^2+3)(x^2-2)$$
を考える。$f(x)$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$（$\mathbb{C}$ の部分体とする）とするとき、ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$L$ を多項式 $$f(x)=(x^3-2)(x^2-5)\in \mathbb{Q}[x]$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$ とし、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数える）。組 $(N,M)$ を求めよ。

$L$ を多項式 $(x^3-3)(x^2-2)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に含める。

有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式
$$f(x)=(x^3-5)(x^4-3)$$
の $\mathbb{C}$ 内での最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/9}\in \mathbb{C}$ とし、$\sqrt[3]{2}$ は $2$ の正の実数の $3$ 乗根を表すとする。$$\alpha =\sqrt[3]{2}+\zeta$$ とおく。$\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式の次数 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$L$ を多項式 $x^8-3\in \mathbb{Q}[x]$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求めよ。

$f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ を $\mathbb{Q}$ 上既約な $n$ 次多項式（$n$ は正の整数）とし、$L\subset \mathbb{C}$ を $f(x)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体、$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ をそのガロア群とする。$G$ がアーベル群であるならば、$|G|=n$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $\mathbb{Q}$ 上既約な多項式は重根をもたない
- $\alpha ,\beta \in L$ がともに $f(x)$ の根ならば、$\sigma (\alpha )=\beta$ を満たす $\sigma \in G$ が存在する
- 有限群の作用に関する軌道・安定化群の定理（軌道の大きさと安定化群の位数の積は群の位数に等しい）

$\zeta =e^{2\pi i/9}$ とし（$i$ は虚数単位）、複素数
$$\alpha =\zeta +{\zeta }^3+{\zeta }^8$$
を考える。$\alpha$ の有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式（$\alpha$ を根にもつ $\mathbb{Q}$ 係数のモニック多項式のうち次数が最小のもの）$p(x)$ を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^6+3)(x^2+1)$$
の、複素数体 $\mathbb{C}$ の中での $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。整数係数の 2 変数多項式環の剰余環
$$A=\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+1,y^3-x)$$
を考える。$A$ の素イデアル $P$ のうち、剰余環 $A/P$ が有限集合であり、かつその元の個数が $50$ 以下であるものの個数を求めよ。

有理数係数の多項式
$$f(x)=(x^3-2)(x^4-3)$$
の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（複素数体 $\mathbb{C}$ の中で $f(x)$ のすべての根を $\mathbb{Q}$ に添加した体）を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

有理数係数の多項式 $f(x)=(x^4-3)(x^3-2)$ の、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を求めよ。

$L$ を多項式 $x^6-2$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に入れる）。組 $(N,M)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_2(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=(x^4+x^2+t)(x^3+t)\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中で考える）。拡大次数 $[L:K]$ と、$L$ の $K$ 上の自己同型群 $\mathrm{Aut}(L/K)$ の位数を、この順に組で求めよ。