代数学の問題

$L/\mathbb{Q}$ は最小分解体なのでガロア拡大であり、$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]$ である。拡大次数 $[L:\mathbb{Q}]$ を求める。

1. $x^6+3$ の最小分解体 $K$。
$\beta =3^{1/6}{e}^{i\pi /6}$ とおくと ${\beta }^6=3e^{i\pi }=-3$ なので、$\beta$ は $x^6+3$ の根である。$\zeta =e^{i\pi /3}$ とすると ${\zeta }^6=1$ であり、$x^6+3$ の根は $\beta {\zeta }^k(k=0,1,\dots ,5)$ の $6$ 個である。

ここで
$${\beta }^3=3^{1/2}{e}^{i\pi /2}=\sqrt{3}i$$
であるから
$$\zeta =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{1+{\beta }^3}{2}\in \mathbb{Q}(\beta )$$
となる。よってすべての根 $\beta {\zeta }^k$ が $\mathbb{Q}(\beta )$ に含まれ、$K=\mathbb{Q}(\beta )$ である。

$x^6+3$ は素数 $3$ についてアイゼンシュタインの判定条件を満たすので $\mathbb{Q}$ 上既約である。したがって
$$[K:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]=6$$
である。また $K$ は $\sqrt{-3}={\beta }^3$ を含み、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset K$ である。

2. $L=K(i)$ の次数。
$x^2+1$ の根は $\pm i$ なので $L=K(i)$ であり、$[L:K]$ は $1$ または $2$ である。

仮に $i\in K$ とする。$i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ であるから、$K$ は $\mathbb{Q}(i,\sqrt{-3})$ を含む。$\mathbb{Q}(i,\sqrt{-3})$ は $\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次の体（$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 上 $i$ は $2$ 次）である。すると次数の乗法性から $4\mid [K:\mathbb{Q}]=6$ となり、矛盾する。

よって $i\notin K$、すなわち $[L:K]=2$ である。

3. 結論。
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:K][K:\mathbb{Q}]=2\cdot 6=12$$
したがって $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=12$ である。

（注意）$x^6+3$ の最小分解体を「$6$ 乗根と $1$ の原始 $6$ 乗根を添加したもの」と考え、$6\cdot 2=12$ 次とすると誤りになる。$1$ の原始 $6$ 乗根 $\zeta$ はすでに $\mathbb{Q}(\beta )$ に含まれている。

$x^6+3=0$ の根の 1 つを $\beta =3^{1/6}{e}^{i\pi /6}$ とする。${\beta }^6=3\cdot e^{i\pi }=-3$ だから根である。他の根は $\beta {\zeta }_6^k$ で、${\zeta }_6=e^{i\pi /3}$ である。

$x^6+3$ の最小分解体を $K=\mathbb{Q}(\beta ,{\zeta }_6)$ とおく。
- ${\beta }^3=3^{1/2}{e}^{i\pi /2}=i\sqrt{3}=\sqrt{-3}$ である。$\sqrt{-3}=2{\zeta }_6-1\in \mathbb{Q}({\zeta }_6)$ なので、$\omega =e^{2\pi i/3}$ とすると $\mathbb{Q}({\zeta }_6)=\mathbb{Q}(\omega )$ である。
- ${\beta }^2$ は $y^3=-3$ の根なので、${\beta }^2=-3^{1/3}{\omega }^k$ の形である。よって $K\ni 3^{1/3}$ となり、$K\supset \mathbb{Q}(3^{1/3},\omega )$ である。
- 逆に $\beta ={\beta }^3/{\beta }^2\in \mathbb{Q}(3^{1/3},\omega )$ である。

ゆえに $K=\mathbb{Q}(3^{1/3},\omega )$ で、$x^3-3$ の最小分解体だから次数は 6、ガロア群は $S_3$ である。

$x^2+1$ の根 $\pm i$ を加えて $L=K(i)$ となる。$K/\mathbb{Q}$ は $S_3$ 拡大で、2 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ のみである（$S_3$ の指数 2 の部分群は $A_3$ だけ）。$\mathbb{Q}(i)\ne \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ なので $i\notin K$ となり、$[L:K]=2$ である。

よって $[L:\mathbb{Q}]=12$ となる。実際 $L$ は $K$ と $\mathbb{Q}(i)$ の合成体で、$K\cap \mathbb{Q}(i)=\mathbb{Q}$ だから $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3\times \mathbb{Z}/2$ であり、位数は 12 である。