代数学の問題

分解体を書き表す. $f(x)$ の根は $\pm \sqrt{2},\pm \sqrt{3}i,\pm \sqrt{6}$ なので
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}i,\sqrt{6}).$$
ここで $\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\in L$、$i=\frac{\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}\in L$ である。逆に $\sqrt{2},\sqrt{3},i$ から $\sqrt{3}i$ と $\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}$ が作れるので
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},i).$$

拡大次数を求める.
- $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$。
- $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$: もし $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}(a,b\in \mathbb{Q})$ なら $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$ より $ab=0$。$b=0$ なら $\sqrt{3}=a\in \mathbb{Q}$、$a=0$ なら $\sqrt{3/2}=\pm b\in \mathbb{Q}$ となり、いずれも矛盾。よって $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$。
- $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset \mathbb{R}$ なので $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ で、$[L:\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})]=2$。

次数の積の公式より $[L:\mathbb{Q}]=2\cdot 2\cdot 2=8$。

ガロア群の位数. $L$ は $f(x)$ の分解体なので $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大であり、
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=8.$$

（注意）$x^2-6$ の根 $\sqrt{6}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}i)$ には含まれない（この体の $2$ 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{-3}),\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ の $3$ つ）。そのため次数は $4$ ではなく $8$ になる。

根は $\pm \sqrt{2},\pm \sqrt{-3},\pm \sqrt{6}$ なので $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{-3},\sqrt{6})$。$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{-3})$ は次数 4 で、含まれる 2 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{-3}),\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ の 3 つ。$\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ はこれらと異なるので $\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{-3})$、$[L:\mathbb{Q}]=8$（$\mathrm{Gal}\cong (\mathbb{Z}/2{)}^3$）。位数は 8。