代数学の問題

方針 $x^3-7$ の最小分解体を $K_1$、$x^4-9$ の最小分解体を $K_2$ とおくと、$L=K_1{K}_2$（合成体）である。どちらも最小分解体なのでガロア拡大であり、
$$[K_1{K}_2:\mathbb{Q}]=\frac{[K_1:\mathbb{Q}][K_2:\mathbb{Q}]}{[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]}$$
が使える。

1. $K_1$ の次数 $x^3-7$ の根は $\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{7}\omega ,\sqrt[3]{7}{\omega }^2$（$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$）なので $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7},\omega )$。$x^3-7$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 $7$）で既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}):\mathbb{Q}]=3$。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})\subset \mathbb{R}$ で $\omega$ は実数でないから、$\omega$ の最小多項式 $x^2+x+1$ により次数はさらに $2$ 倍になり、$[K_1:\mathbb{Q}]=6$。また $\sqrt{-3}=2\omega +1\in K_1$ である。

2. $K_2$ の次数 虚数単位を $i$ とする。$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$ より根は $\pm \sqrt{3},\pm \sqrt{3}i$。よって $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{3}i)=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$。$[\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2$ で、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subset \mathbb{R}$ に $i$ は含まれないので $[K_2:\mathbb{Q}]=4$。また $\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\in K_2$ である。

3. 交わり $K_1\cap K_2$ $K_1\cap K_2$ は $K_1$ の部分体なので、次数の積の公式から $[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]$ は $6$ の約数。同様に $K_2$ の部分体なので $4$ の約数。よって $2$ の約数、すなわち $1$ か $2$ である。一方、1・2 より $\sqrt{-3}$ は $K_1$ にも $K_2$ にも含まれるので $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset K_1\cap K_2$ であり、次数は $2$ 以上。したがって
$$K_1\cap K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-3}),[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]=2.$$

4. 合成体の次数 公式に代入して
$$[L:\mathbb{Q}]=\frac{6\cdot 4}{2}=12.$$
$L$ は最小分解体なので $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12$。

答え: $12$

$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$ の根は $\pm \sqrt{3},\pm i\sqrt{3}$ である。したがってこの多項式の最小分解体は $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i\sqrt{3})$ となる。$i\sqrt{3}/\sqrt{3}=i$ より、これは $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ に等しい。この体の次数は 4 である（$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ は実体で次数 2、$i$ は虚数なので、さらに次数 2 の拡大になる）。

$x^3-7$ の根は $\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{7}\omega ,\sqrt[3]{7}{\omega }^2$ である。ここで $\omega =(-1+\sqrt{-3})/2$。$\sqrt{-3}=i\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ なので $\omega \in \mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ である。

よって $L=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i,\sqrt[3]{7})$ である。

次数を求める。$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7}):\mathbb{Q}]=3$（アイゼンシュタインの判定法による）、$[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i):\mathbb{Q}]=4$ で、3 と 4 は互いに素である。$L$ は両者の合成体なので、$[L:\mathbb{Q}]$ は 3 の倍数かつ 4 の倍数、すなわち 12 の倍数となる。一方、$[L:\mathbb{Q}]\le 3\cdot 4=12$ であるから $[L:\mathbb{Q}]=12$ である。

L は $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大なので、ガロア群の位数は $[L:\mathbb{Q}]=12$ である。