代数学の問題

手順 1：根をすべて求める。
$x^2=t$ とおくと $t^2-4t-5=(t-5)(t+1)$ なので
$$f(x)=(x^2-5)(x^2+1)$$
と因数分解できる。よって $f(x)$ の根は $\pm \sqrt{5},\pm i$ の 4 つである。

手順 2：最小分解体を書く。
$L$ はこれらの根をすべて $\mathbb{Q}$ に添加した体である。$-\sqrt{5}$ は $\sqrt{5}$ から、$-i$ は $i$ から作れるので
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt{5},-\sqrt{5},i,-i)=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i).$$

手順 3：拡大次数を求める。
- $x^2-5$ は素数 $5$ についてアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2$。
- $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ は実数体 $\mathbb{R}$ に含まれるが、$i$ は実数でないので $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{5})$。$i$ は 2 次式 $x^2+1$ の根なので、$x^2+1$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上で既約であり $[L:\mathbb{Q}(\sqrt{5})]=2$。

次数の積の公式より
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\sqrt{5})][\mathbb{Q}(\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4.$$

手順 4：ガロア群の位数に読みかえる。
$L$ は $f(x)$ の最小分解体（標数 $0$ なのでガロア拡大）だから $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]$ が成り立つ。したがって
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=4.$$

$f(x)=x^4-4x^2-5=(x^2-5)(x^2+1)$ と因数分解できる。根は $\pm \sqrt{5},\pm i$ である。したがって最小分解体は $L=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$ となる。

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ は実数体の部分体であり、$[\mathbb{Q}(\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2$ である。$i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ なので（$i$ は実数でない）、$i$ の $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上の最小多項式は $x^2+1$ で、次数は 2 である。よって $[L:\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4$ となる。

$L/\mathbb{Q}$ は最小分解体なのでガロア拡大であり、$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=4$ である。

検算として、$\sqrt{5}\mapsto \pm \sqrt{5},i\mapsto \pm i$ の 4 通りの自己同型がすべて存在する。これはクロネッカー群 $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$ と一致する。