代数学の問題

手順 1：根をすべて求める。
$x^4=5$ の解は、$\alpha =\sqrt[4]{5}$（正の実数）とすると、$x^2=\pm \sqrt{5}$ より
$$x=\alpha ,-\alpha ,i\alpha ,-i\alpha$$
の 4 つである（複素数平面上では原点中心の正方形の頂点）。

手順 2：最小分解体を簡単な形で表す。
$L=\mathbb{Q}(\alpha ,-\alpha ,i\alpha ,-i\alpha )$ である。$\alpha \in L$ かつ $i\alpha \in L$ なので $i=\frac{i\alpha }{\alpha }\in L$。逆に $\alpha$ と $i$ があれば 4 つの根はすべて作れる。よって
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i).$$

手順 3：$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]$ を求める。
$x^4-5$ は素数 $5$ についてアイゼンシュタインの判定法の条件（最高次以外の係数が $5$ で割り切れ、定数項 $-5$ は $5^2$ で割り切れない）を満たすので $\mathbb{Q}$ 上既約である。よって $\sqrt[4]{5}$ の最小多項式は $x^4-5$ で、
$$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=4.$$

手順 4：$[L:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})]$ を求める。
$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})$ は実数の中に含まれるので、虚数 $i$ を含まない。$i$ は $x^2+1$ の根であり、この 2 次式は $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})$ 上で根をもたないので既約。よって
$$[L:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})]=2.$$

手順 5：次数の積の公式とガロア群の位数。
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})][\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=2\times 4=8.$$
$L$ は $\mathbb{Q}$（標数 $0$）上の多項式の最小分解体なのでガロア拡大であり、$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]$ が成り立つ。したがって
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=8.$$

$f(x)=x^4-5$ の根は $\alpha =5^{1/4}$ を用いて $\pm \alpha ,\pm i\alpha$ である。したがって最小分解体は $L=\mathbb{Q}(\alpha ,i)$ である。

1. $x^4-5$ は素数 5 に関するアイゼンシュタインの判定法により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$ である。
2. $\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ なので $i\notin \mathbb{Q}(\alpha )$ である。$i$ は $x^2+1$ の根だから $[\mathbb{Q}(\alpha ,i):\mathbb{Q}(\alpha )]=2$ となる。
3. よって $[L:\mathbb{Q}]=4\cdot 2=8$ である。

ガロア群の位数は拡大次数に等しいので 8 である（群は二面体群 $D_4$ に同型）。

検算として、$\mathbb{Q}(i)$ 上の $x^4-5$ のガロア群は位数 4 の巡回群で、$[L:\mathbb{Q}(i)]=4$ である。また $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2$ なので、合わせて 8 となり一致する。