代数学の問題

手順 1：根をすべて求める。

$\alpha =\sqrt[4]{5}$（正の実数の 4 乗根）とする。$x^4=5$ の解は、$\alpha$ に 1 の 4 乗根 $1,i,-1,-i$ を掛けたものなので
$$x=\alpha ,i\alpha ,-\alpha ,-i\alpha$$
である。

手順 2：最小分解体を簡単な形で表す。

$L$ はこの 4 つの根をすべて含む最小の体である。$\alpha \in L$ かつ $i\alpha \in L$ なので、$i=\frac{i\alpha }{\alpha }\in L$ である。よって $\mathbb{Q}(\alpha ,i)\subset L$ である。逆に、4 つの根はどれも $\mathbb{Q}(\alpha ,i)$ に含まれるので $L\subset \mathbb{Q}(\alpha ,i)$ である。したがって
$$L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i)$$
である。

手順 3：$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を求める。

$x^4-5$ は素数 $5$ についてアイゼンシュタインの判定法の条件を満たす。すなわち、最高次以外の係数 $0,0,0,-5$ はすべて $5$ で割り切れ、最高次の係数 $1$ は $5$ で割り切れず、定数項 $-5$ は $25$ で割り切れない。よって $x^4-5$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。したがって $x^4-5$ は $\alpha$ の最小多項式であり、
$$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$$
である。

手順 4：$[L:\mathbb{Q}(\alpha )]$ を求める。

$i$ は $x^2+1$ の根なので、$[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=[\mathbb{Q}(\alpha )(i):\mathbb{Q}(\alpha )]\le 2$ である。一方、$\alpha$ は実数なので $\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ であり、虚数 $i$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ に含まれない。よって $x^2+1$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ 上既約で、
$$[L:\mathbb{Q}(\alpha )]=2$$
である。

手順 5：次数の積の公式とガロア群の位数。

次数の積の公式より
$$[L:\mathbb{Q}]=[L:\mathbb{Q}(\alpha )][\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=2\times 4=8$$
である。$L$ は多項式の最小分解体なので $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大であり、$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]$ が成り立つ。よって
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=8$$
である。

$f(x)=x^4-5$ の根は $\pm \sqrt[4]{5},\pm i\sqrt[4]{5}$ である。よって最小分解体は $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i)$ である。

$\alpha =\sqrt[4]{5}$ とおく。$x^4-5$ はアイゼンシュタインの判定法（素数 5）により $\mathbb{Q}$ 上既約なので、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$ である。$\mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ なので $i\notin \mathbb{Q}(\alpha )$ であり、$i$ は $x^2+1$ の根だから $[\mathbb{Q}(\alpha ,i):\mathbb{Q}(\alpha )]=2$ となる。したがって $[L:\mathbb{Q}]=8$ である。

ガロア群の位数は拡大次数に等しいので 8（二面体群 $D_4$）となる。

検算：$\sigma :\alpha \mapsto i\alpha ,i\mapsto i$ と $\tau :\alpha \mapsto \alpha ,i\mapsto -i$ が生成する群で、$\sigma$ の位数は 4、$\tau$ の位数は 2 であり、$\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}$ が成り立つ。これは位数 8 の群であり、$\alpha$ の像は 4 通り、$i$ の像は 2 通りで合計 8 通りとなり、一致する。