代数学の問題

手順1：因数ごとに分解体を求める。

$x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)$ と因数分解できる。よって $f(x)=(x^3-2)(x^2-3)(x^2+1)$ である。

• $x^3-2$ の根は $\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega ,\sqrt[3]{2}{\omega }^2$ である（$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$）。その分解体は $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ で、$[K_1:\mathbb{Q}]=6$ である。
• $(x^2-3)(x^2+1)$ の根は $\pm \sqrt{3},\pm i$ である。その分解体は $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ である。$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ は実数の体なので $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ であり、$[K_2:\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4$ となる。

$K_1,K_2$ はどちらも分解体なので $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大である。また $L=K_1{K}_2$ である。

手順2：交わり $K_1\cap K_2$ を求める。

$K_1\cap K_2$ は $K_1$ と $K_2$ の両方の部分体である。したがって $[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]$ は $6$ と $4$ の両方を割り切り、$1$ または $2$ である。

ここで次の 2 点が成り立つ。

• $\sqrt{-3}=2\omega +1\in K_1$
• $\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\in K_2$

よって $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset K_1\cap K_2$ となる。したがって $K_1\cap K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ であり、$[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]=2$ である。

手順3：合成体の次数の公式を使う。

$K_1,K_2$ はガロア拡大なので、次の公式が使える。
$$[L:\mathbb{Q}]=\frac{[K_1:\mathbb{Q}][K_2:\mathbb{Q}]}{[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]}=\frac{6\cdot 4}{2}=12.$$

$L$ は $\mathbb{Q}$ のガロア拡大なので $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12$ である。

（確認：$L=K_1(i)$ である。$K_1$ の 2 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ だけなので $i\notin K_1$ であり、$[L:\mathbb{Q}]=6\cdot 2=12$ となって一致する。）

答えは $12$ である。

$f(x)=(x^3-2)(x^2-3)(x^2+1)$ と因数分解できる。根は $\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$（$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$）、$\pm \sqrt{3}$、$\pm i$ である。

よって $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ,\sqrt{3},i)$ となる。

$\omega$ は $\sqrt{-3}=i\sqrt{3}$ から生成されるので、$\mathbb{Q}(\omega ,\sqrt{3},i)=\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$ である。この体の次数は $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$ である（$\sqrt{3}$ は実数なので $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ に $i$ は含まれず、$i$ を添加すると次数は 2 倍になる）。

$L=\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})(\sqrt[3]{2})$ である。$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$ であり、$3$ と $4$ は互いに素なので、$[L:\mathbb{Q}]$ は $3$ と $4$ の両方で割り切れ、$12$ の倍数になる。一方 $[L:\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})]\le 3$ なので $[L:\mathbb{Q}]\le 12$ である。したがって $[L:\mathbb{Q}]=12$ となる。

ガロア拡大なので $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12$ である。

検算：$\mathrm{Gal}$ は $S_3\times (\mathbb{Z}/2{)}^2$ の部分群で、$S_3$ 側は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ のガロア群（位数 6）、$(\mathbb{Z}/2{)}^2$ 側は $\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$ のガロア群（位数 4）である。共通部分は $\mathbb{Q}(\omega )$ で、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )\cap \mathbb{Q}(i,\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\omega )$ なので、位数は $6\cdot 4/2=12$ となり一致する。