代数学の問題

以下、$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$（1 の原始 3 乗根）とおく。

手順 1：それぞれの因数の最小分解体を求める。

$x^3-3$ の根は $\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{3}\omega ,\sqrt[3]{3}{\omega }^2$ である。したがって、その最小分解体は $K_1=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega )$ となる。

• $x^3-3$ はアイゼンシュタインの判定法（$p=3$）により既約なので、$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=3$ である。
• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})\subset \mathbb{R}$ であり、$\omega$ は実数でない。$\omega$ は $x^2+x+1$ の根なので、$[K_1:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})]=2$ である。

よって $[K_1:\mathbb{Q}]=3\cdot 2=6$ となる。

$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$ の根は $\pm \sqrt{3},\pm \sqrt{-3}$ である。したがって、その最小分解体は $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{-3})$ となる。$\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subset \mathbb{R}$ なので $\sqrt{-3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ であり、$[K_2:\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4$ となる。

$L$ は $x^3-3$ と $x^4-9$ の根をすべて含む最小の体なので、$L=K_1{K}_2$（合成体）である。

手順 2：共通部分 $K_1\cap K_2$ を求める。

$K_1\cap K_2$ は $K_1$ と $K_2$ の両方の部分体である。次数の積の公式から $[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]$ は $6$ と $4$ の両方を割り切るので、$1$ または $2$ である。

一方、$\sqrt{-3}=2\omega +1\in K_1$ であり、$\sqrt{-3}\in K_2$ でもある。したがって $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset K_1\cap K_2$ となり、$[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]=2$、すなわち $K_1\cap K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ である。

手順 3：合成体の次数の公式を使う。

$K_1,K_2$ はともに最小分解体なので、$\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大である。したがって次の公式が使える。
$$[L:\mathbb{Q}]=[K_1{K}_2:\mathbb{Q}]=\frac{[K_1:\mathbb{Q}][K_2:\mathbb{Q}]}{[K_1\cap K_2:\mathbb{Q}]}=\frac{6\cdot 4}{2}=12.$$

手順 4：ガロア群の位数を求める。

$L$ は最小分解体なので $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大であり、
$$|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12.$$

（確認：$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\sqrt{-3},\sqrt{3})$ と書ける。$K_1$ の 2 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ だけなので $\sqrt{3}\notin K_1$ であり、$[L:\mathbb{Q}]=6\cdot 2=12$ となって一致する。）

答え：$12$

$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$ なので、$f(x)$ の根は次の通り。
- $x^3=3$ の根: $\sqrt[3]{3}{\omega }^k$（$k=0,1,2$、$\omega =e^{2\pi i/3}$）
- $x^2=3$ の根: $\pm \sqrt{3}$
- $x^2=-3$ の根: $\pm i\sqrt{3}$

したがって $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega ,\sqrt{3},i\sqrt{3})$ である。

$\sqrt{3}$ と $i\sqrt{3}$ から $i=i\sqrt{3}/\sqrt{3}\in L$ が得られる。
また $\omega =(-1+i\sqrt{3})/2$ なので、$\omega$ は $i\sqrt{3}$ から得られる。
よって $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega ,\sqrt{3})$ である。

次数を求める。
- $M=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega )$ は $x^3-3$ の最小分解体で、$[M:\mathbb{Q}]=6$、$\mathrm{Gal}(M/\mathbb{Q})\cong S_3$ である。
- $S_3$ の指数 2 の部分群は $A_3$ だけなので、$M$ の二次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ のみである。
- $\mathbb{Q}(\sqrt{3})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ なので $\sqrt{3}\notin M$ であり、$[L:M]=2$ となる。

よって $[L:\mathbb{Q}]=12$ である。

検算: $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\omega )=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ は次数 4 で、$\sqrt[3]{3}$ の次数 3 と互いに素。したがって $L$ の次数は $4\cdot 3=12$ となり一致する。

ガロア拡大なので $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=[L:\mathbb{Q}]=12$。