可換環論・ホモロジー代数の問題

1. $A$ の簡約. $\mathbb{Z}[x,y]$ で $y^3-x$ を法とすると $x=y^3$ と置き換えられるので
$$A\cong \mathbb{Z}[y]/((y^3{)}^2+1)=\mathbb{Z}[y]/(y^6+1).$$
$y^6+1$ はモニックなので、$A$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成加群であり、クルル次元は $1$ である。

2. 対象となる素イデアル. $A/P$ が有限な整域なら体なので $P$ は極大イデアルである。逆に $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ については、$A/\mathfrak{m}$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成な体なので有限体であり、ある素数 $p$ について $p\in \mathfrak{m}$ となる。よって数えるべきものは、極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $|A/\mathfrak{m}|\le 50$ を満たすものである。

$p\in \mathfrak{m}$ となる極大イデアルは $A/pA\cong {\mathbb{F}}_p[y]/(y^6+1)$ の極大イデアルと 1 対 1 に対応する。これらは $y^6+1$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の相異なるモニック既約因子 $g$ と 1 対 1 に対応し、剰余体は ${\mathbb{F}}_{p^{\mathrm{deg}g}}$ である。

3. $p=2,3$.
- $p=2$ のとき $y^6+1=(y^3+1{)}^2=(y+1{)}^2(y^2+y+1{)}^2$ であり、$y^2+y+1$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約である。剰余体の位数は $2,4$ で、どちらも $50$ 以下である。よって $2$ 個。
- $p=3$ のとき $y^6+1=(y^2+1{)}^3$ であり、$y^2+1$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上既約である（$-1$ は平方剰余でない）。剰余体の位数は $9$ なので $1$ 個。

4. $p\ge 5$. $y^6+1=(y^2+1)(y^4-y^2+1)$ である。$(y^6+1{)}^{\prime }=6y^5$ と $y^6+1$ は共通根をもたないので、$y^6+1$ は分離的である。$y^6=-1$ を満たす元は $y^{12}=1$ かつ $y^6\ne 1$ を満たすので、その位数は $4$ または $12$ である。$y^2+1$ の根が位数 $4$ の元、$y^4-y^2+1={\Phi }_{12}(y)$ の根が位数 $12$ の元にあたる。${\Phi }_d$ の既約因子の次数は $p$ の $\mathrm{mod}d$ での位数に等しい。
- $y^2+1$ は、$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なら 1 次式 2 個に分解し、$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なら 2 次の既約式 1 個である。
- ${\Phi }_{12}$ は、$p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なら 1 次式 4 個に分解する。それ以外では $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なので、2 次の既約式 2 個に分解する。

剰余体の位数は $p$ または $p^2$ である。$p^2\le 50$ となるのは $p=5,7$ のときだけである。
- $p=5$：$5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので位数 $5$ の剰余体が $2$ 個。$5\not\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なので位数 $25$ の剰余体が $2$ 個。計 $4$ 個。
- $p=7$：$y^2+1$ から位数 $49$ の剰余体が $1$ 個、${\Phi }_{12}$ から位数 $49$ の剰余体が $2$ 個。計 $3$ 個。
- $11\le p\le 47$：1 次因子だけが条件を満たす。$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なら $y^2+1$ から $2$ 個、さらに $p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なら ${\Phi }_{12}$ から $4$ 個ある。
- $p=11,19,23,31,43,47$ はいずれも $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $0$ 個。
- $p=17,29,41$ は $p\equiv 5(\mathrm{mod}12)$ なので、それぞれ $2$ 個。
- $p=13,37$ は $p\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なので、それぞれ $2+4=6$ 個。
- 合計は $3\cdot 2+2\cdot 6=18$ 個。

5. 合計.
$$2+1+4+3+18=28.$$

$x=y^3$ なので $x^2+1=y^6+1$ であり、$A\cong \mathbb{Z}[y]/(y^6+1)$ である。$A/P$ が有限整域ならば体なので、$P$ は極大イデアルである。有限体 ${\mathbb{F}}_{p^f}$ を剰余体にもつ極大イデアルは、$y^6+1$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約因子（相異なるもの）と 1 対 1 に対応し、剰余体の位数は $p^f$（$f$ は因子の次数）である。

$y^6+1=(y^2+1)(y^4-y^2+1)={\Phi }_4{\Phi }_{12}$ である。$p\ge 5$ のとき、${\Phi }_4$ は位数 4 の元を根にもつので、${\mathbb{F}}_p$ 上で次数 $f_4=($ $p$ の mod 4 での位数 $)$ の因子 $2/f_4$ 個に分かれる。${\Phi }_{12}$ も同様に、次数 $f_{12}=($ $p$ の mod 12 での位数 $)$ の因子 $4/f_{12}$ 個に分かれる。

• $p=2$: $y^6+1=(y+1{)}^2(y^2+y+1{)}^2$ なので、位数 2 と位数 4 の体が各 1 個で、計 2 個。
• $p=3$: $y^6+1=(y^2+1{)}^3$ で $y^2+1$ は既約なので、位数 9 の体が 1 個。
• $p=5$: $f_4=1$ で位数 5 が 2 個、$f_{12}=2$ で位数 25 が 2 個。計 4 個。
• $p=7$: $f_4=2$ で位数 49 が 1 個、$f_{12}=2$ で位数 49 が 2 個。計 3 個。
• $p=11,19,23,43,47$: 因子の次数がすべて 2 以上で $p^2>50$ なので 0 個。
• $p=13$: $f_4=1$ で 2 個、$f_{12}=1$ で 4 個。計 6 個。
• $p=17$: $f_4=1$ で 2 個。$f_{12}=2$ で $17^2>50$ なので不可。計 2 個。
• $p=29$: $f_4=1$ で 2 個。$f_{12}=2$ は不可。計 2 個。
• $p=37$: $f_4=1$ で 2 個、$f_{12}=1$ で 4 個。計 6 個。
• $p=41$: $f_4=1$ で 2 個。$f_{12}=2$ は不可。計 2 個。
• $p>50$: 位数 $p>50$ なので不可。

合計は $2+1+4+3+6+2+2+6+2=28$。