可換環論・ホモロジー代数の問題

ステップ 1：極大イデアルと素数の対応。 $R$ は $\mathbb{Z}$ 上 $1,x,x^2,x^3$ で生成される有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群であり、$\mathbb{Z}\to R$ は整拡大である。$\mathfrak{m}$ を $R$ の極大イデアルとすると、整拡大では極大イデアルの縮約は極大イデアルなので、$\mathfrak{m}\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$（$p$ は素数）となる。よって $R$ の極大イデアルは、ある素数 $p$ について $R/pR$ の極大イデアルと一対一に対応する。

$$R/pR\cong {\mathbb{F}}_p[x]/(x^4+1)$$ であり、$x^4+1$ を ${\mathbb{F}}_p$ 上で $\overline{f}=\prod g_i^{e_i}$（$g_i$ は相異なるモニック既約多項式）と分解すると、$R/pR$ の極大イデアルは $(p,g_i(x))$ で、その剰余体は ${\mathbb{F}}_p[x]/(g_i)\cong {\mathbb{F}}_{p^{\mathrm{deg}{g}_i}}$ である。したがって、元の個数が $50$ 以下の剰余体をもつ極大イデアルを数えるには、各素数 $p$ について $x^4+1$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約因子の次数を調べればよい。

ステップ 2：$p=2$。 ${\mathbb{F}}_2$ 上で $x^4+1=(x+1{)}^4$ なので、極大イデアルは $(2,x+1)$ の $1$ 個で、剰余体は ${\mathbb{F}}_2$（元の個数 $2$）。

ステップ 3：$p$ が奇素数のとき。 $p\nmid 8$ なので $x^4+1$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上で重根をもたない（$x^8-1$ は ${\mathbb{F}}_p$ 上分離的）。$x^4+1$ の根は $x^4=-1$, すなわち位数がちょうど $8$ の $1$ の冪根であり、ちょうど $4$ 個ある。位数 $8$ の元を含む最小の ${\mathbb{F}}_p$ の拡大体は ${\mathbb{F}}_{p^f}$（$f$ は $8\mid p^f-1$ となる最小の正の整数、すなわち $p\mathrm{mod}8$ の乗法的位数）であり、各既約因子の次数はすべて $f$ に等しい。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ のとき $f=1$：$x^4+1$ は $4$ 個の一次式に分解し、剰余体 ${\mathbb{F}}_p$ をもつ極大イデアルが $4$ 個。
- $p\equiv 3,5,7(\mathrm{mod}8)$ のとき $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので $f=2$：$x^4+1$ は $2$ 個の二次既約式に分解し、剰余体 ${\mathbb{F}}_{p^2}$ をもつ極大イデアルが $2$ 個。（例：$p=3$ では $x^4+1=(x^2+x+2)(x^2+2x+2)$。）

ステップ 4：数え上げ。
- 剰余体の元の個数が $p$（$f=1$）で $p\le 50$, $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ となる素数は $17,41$ の $2$ 個。極大イデアルは $2\times 4=8$ 個。
- 剰余体の元の個数が $p^2$（$f=2$）で $p^2\le 50$ となる奇素数は $p=3,5,7$（$p^2=9,25,49$）で、いずれも $p\not\equiv 1(\mathrm{mod}8)$。極大イデアルは $3\times 2=6$ 個。
- $p=2$ から $1$ 個。

以上より、求める個数は $$1+8+6=15$$ である。

$R=\mathbb{Z}[x]/(x^4+1)$ の極大イデアルは、素数 $p$ と $x^4+1$ の ${\mathbb{F}}_p[x]$ での既約因子 $f$ の組 $(p,f(x))$ と 1 対 1 に対応する（$R$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成で、極大イデアルの剰余体は有限体となり、$p$ は標数として決まる。$R/pR={\mathbb{F}}_p[x]/(x^4+1)$ の極大イデアルを数えればよい）。剰余体は ${\mathbb{F}}_{p^{\mathrm{deg}f}}$ で、元の個数は $p^{\mathrm{deg}f}$ である。\n\n$x^4+1={\Phi }_8(x)$ なので、${\mathbb{F}}_p[x]$ での分解は $p$ の mod 8 での位数で決まる。\n- $p=2$: $x^4+1=(x+1{)}^4$。極大イデアルは 1 個、剰余体は ${\mathbb{F}}_2$（元の個数 2）。\n- $p$ が奇素数で $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$: 1 次因子 4 個に分解。各剰余体は ${\mathbb{F}}_p$（元の個数 $p$）。\n- $p\equiv 3,5,7(\mathrm{mod}8)$: $p^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ で、2 次因子 2 個に分解。剰余体は ${\mathbb{F}}_{p^2}$（元の個数 $p^2$）。\n\n元の個数が 50 以下となる条件で数える。\n- $p=2$: $2\le 50$ より 1 個。\n- $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$, $p\le 50$: $p=17,41$。各 4 個で計 8 個。\n- $p\equiv 3,5,7(\mathrm{mod}8)$, $p^2\le 50$: $p\le 7$ より $p=3,5,7$（$9,25,49$）。各 2 個で計 6 個。（$p=11$ は $121>50$ で不可。）\n\n合計 $1+8+6=15$。\n\n検算: $p=17$ では $17\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ で、${\mathbb{F}}_{17}$ に 1 の原始 8 乗根（例えば $2^2=4$ は位数 4 であり、$3$ は位数 16 なので $3^2=9$ が位数 8）があり、$x^4+1$ は 4 個の根をもつ。$p=7$ では $7^2=49\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ より根は ${\mathbb{F}}_{49}$ にあり、${\mathbb{F}}_7$ にはない。