ガロアの基本定理と中間体の数え上げ

$L$ を多項式 $x^3-7$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=3$ となるものの個数を求めよ。

$L$ を多項式 $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$[K:\mathbb{Q}]=4$ であるものの個数を求めよ。

$\omega =e^{2\pi i/3}$ とし、$K=\mathbb{Q}(\omega )$ とおく。さらに $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{5}$ をそれぞれ $2$, $5$ の正の実数の $3$ 乗根として、$$L=K\left(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5}\right)\subseteq \mathbb{C}$$ とする。$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ の個数を求めよ（$M=K$ および $M=L$ も数に含める）。

$\zeta =e^{2\pi i/16}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ および $K=L$ も数に含める）。

$L$ を多項式 $$f(x)=(x^3-2)(x^2-5)\in \mathbb{Q}[x]$$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$ とし、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数える）。組 $(N,M)$ を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/60}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$d$ は $1$ でない平方因子をもたない整数とする。すなわち、$d\ne 1$ であり、どの素数 $p$ についても $p^2\nmid d$ である（$d$ は負でもよい）。$d<0$ のときは $\sqrt{d}=i\sqrt{-d}$ と定める。$\sqrt{d}\in L$ となるような $d$ をすべて求め、その集合を答えよ。

$L$ を多項式 $(x^3-3)(x^2-2)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に含める。

$\zeta =e^{2\pi i/35}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）。

$p$ を素数とし、$L/K$ を拡大次数 $[L:K]=p^2$ の有限次ガロア拡大とする。$K⊊M⊊L$ をみたす中間体 $M$ の個数を $N$ とする。

このとき、$N=1$ または $N=p+1$ であることを証明せよ。

ただし、ガロア理論の基本定理と、位数 $p^2$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ のいずれかに同型であることは用いてよい。

$L$ を多項式 $x^5-6$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ のうち、$K/\mathbb{Q}$ がガロア拡大でないものの個数を求めよ。

$L$ を多項式 $x^6-2$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。ガロア群 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数を $N$、$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を $M$ とする（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に入れる）。組 $(N,M)$ を求めよ。

$\sqrt[5]{3}$ は $3$ の正の実数の $5$ 乗根を表し、$L$ を多項式 $x^5-3$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たすすべての中間体 $K$（$K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も含める）について拡大次数 $[K:\mathbb{Q}]$ を求め、それらの総和 $$S=\sum _{\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L}[K:\mathbb{Q}]$$ を求めよ。

$p$ を奇素数とし、$\zeta =e^{2\pi i/p}\in \mathbb{C}$、$K=\mathbb{Q}(\zeta )$ とする。$\alpha =\sqrt[p]{2}$、$\beta =\sqrt[p]{3}$ をそれぞれ $2,3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、$\mathbb{C}$ の部分体として $K(\alpha )\ne K(\beta )$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K:\mathbb{Q}]=p-1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L/F$ において $\mathrm{Gal}(L/F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。