体論・ガロア理論の問題

$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{35})$ は $\mathbb{Q}$ のガロア拡大で、
$$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}{)}^{\times }$$
である。ガロアの基本定理より、中間体の個数はこの群の部分群の個数に等しい。

中国剰余定理より
$$(\mathbb{Z}/35\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/6\cong (\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/3.$$
位数 $8$ の部分 $A=\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2$ と位数 $3$ の部分 $B=\mathbb{Z}/3$ の位数は互いに素なので、$A\times B$ の部分群は $H_1\times H_2$（$H_1\le A$, $H_2\le B$）の形にただ 1 通りに書ける。よって部分群の個数は（$A$ の部分群の個数）$\times$（$B$ の部分群の個数）。

$B=\mathbb{Z}/3$ の部分群は $2$ 個。

$A=\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2$ の部分群を位数ごとに数える。
- 位数 $1$: $1$ 個。
- 位数 $2$: 位数 $2$ の元は $(2,0),(0,1),(2,1)$ の $3$ 個なので $3$ 個。
- 位数 $4$: 巡回部分群は位数 $4$ の元 $(1,0),(3,0),(1,1),(3,1)$ から生成され、$⟨(1,0)⟩=\{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0)\}$, $⟨(1,1)⟩=\{(0,0),(1,1),(2,0),(3,1)\}$ の $2$ 個。非巡回のものは $\{(0,0),(2,0),(0,1),(2,1)\}$ の $1$ 個。計 $3$ 個。
- 位数 $8$: $1$ 個。

合計 $1+3+3+1=8$ 個。

したがって部分群の個数は $8\times 2=16$ であり、中間体の個数も $16$ である。

$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{35})$ は $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大で、ガロア群は $(\mathbb{Z}/35{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/5{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/6\cong \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3$。位数は $\phi (35)=24$。

ガロア対応により中間体の個数は部分群の個数に等しい。位数が互いに素な 2 部分と 3 部分に分かれるので、部分群の個数は $(\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2)$ の部分群の個数と $\mathbb{Z}/3$ の部分群の個数の積。

• $\mathbb{Z}/3$: 2 個。
• $\mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/2$: 位数 1 が 1 個、位数 2 が 3 個（位数 2 の元が 3 個）、位数 4 が 3 個（位数 4 の元 4 個から作る巡回群 2 個と、クラインの四元群型 1 個）、位数 8 が 1 個。計 8 個。

よって $8\cdot 2=16$。