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体論・ガロア理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学体論・ガロア理論

$ζ = e^{2 π i /16}$ とし、 $L = Q (ζ)$ とおく。 $Q \subseteq K \subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ（ $K = Q$ および $K = L$ も数に含める）。

この問題で使うもの

円分体のガロア群と部分体（説明と入口の問題）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（説明と入口の問題）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（説明と入口の問題）
剰余類環の単元群とオイラー関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$L$ は円分体なので、 $Gal (L / Q) ≅ (Z /16 Z)^{\times}$ を使い、ガロアの基本定理で中間体を部分群の数え上げに帰着させる。

ヒント 2

$(Z /16 Z)^{\times}$ は巡回群ではない。 $- 1$ と $5$ の位数を調べ、 ${\pm 1} \times ⟨ 5 ⟩$ と分解できることを確かめる。

ヒント 3

$Z /2 Z \times Z /4 Z$ の部分群を位数ごとに数える。位数 $4$ の部分群は巡回群のものとクラインの四元群のものの両方があることに注意する。

答えと解説

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8

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解説を読む

ガロア群. $L = Q (ζ_{16})$ は円分体であり、 $Q$ 上のガロア拡大で
$Gal (L / Q) ≅ (Z /16 Z)^{\times}, σ_{a} (ζ) = ζ^{a}$
が成り立つ（ $16$ 次の円分多項式 $Φ_{16} (x) = x^{8} + 1$ は $Q$ 上既約）。位数は $φ (16) = 8$ 。

$(Z /16 Z)^{\times} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}$ の構造を調べる。 $5^{2} = 25 \equiv 9$ , $5^{4} = 81 \equiv 1 (mod 16)$ より $5$ の位数は $4$ 。また $- 1 \equiv 15$ は位数 $2$ で、 $⟨ 5 ⟩ = {1, 5, 9, 13}$ に含まれない。よって
$(Z /16 Z)^{\times} = {\pm 1} \times ⟨ 5 ⟩ ≅ Z /2 Z \times Z /4 Z .$

部分群の個数. ガロアの基本定理により、中間体の個数は $G = Z /2 Z \times Z /4 Z$ の部分群の個数に等しい。元を $(a, b)$ （ $a \in Z /2$ , $b \in Z /4$ ）で表す。
- 位数 $1$ : ${0}$ の $1$ 個。
- 位数 $2$ : 位数 $2$ の元は $(1, 0), (0, 2), (1, 2)$ の $3$ 個で、それぞれが生成する $3$ 個。
- 位数 $4$ : 巡回群 $Z /4$ と同型なもの — 位数 $4$ の元は $(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3)$ の $4$ 個、各巡回部分群は位数 $4$ の元を $2$ 個ずつ含むので $4/2 = 2$ 個。クラインの四元群と同型なもの — 位数 $2$ の元すべてと単位元からなる ${(0, 0), (1, 0), (0, 2), (1, 2)}$ の $1$ 個。合計 $3$ 個。
- 位数 $8$ : $G$ 自身の $1$ 個。

合計 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 個。

（対応する中間体は、 $Q$ ; 次数 $2$ の $Q (i), Q (2), Q (- 2)$ ; 次数 $4$ の $Q (ζ_{8}) = Q (i, 2)$ , $Q (ζ + ζ^{- 1}) = Q (cos \frac{π}{8})$ , $Q (ζ - ζ^{- 1}) = Q (i sin \frac{π}{8})$ ; $L$ である。）

よって求める個数は $8$ 。

別解

$L = Q (ζ_{16})$ は $Q$ 上のガロア拡大で、 $Gal (L / Q) ≅ (Z /16 Z)^{\times}$ （位数 $φ (16) = 8$ ）。ガロア対応により中間体の個数は部分群の個数に等しい。

$(Z /16)^{\times} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}$ 。各元の位数: $1$ :1、 $15$ :2、 $7$ :2（ $49 \equiv 1$ ）、 $9$ :2（ $81 \equiv 1$ ）、 $3$ :4（ $3^{2} = 9, 3^{4} = 81 \equiv 1$ ）、 $5$ :4（ $25 \equiv 9$ ）、 $11$ :4（ $121 \equiv 9$ ）、 $13$ :4（ $169 \equiv 9$ ）。よって群は $Z /2 \times Z /4$ 。

部分群の数:
- 位数 1: 1 個
- 位数 2: 位数 2 の元が 3 個なので 3 個
- 位数 4: 巡回群は位数 4 の元 4 個から、各巡回群に位数 4 の元が 2 個ずつ含まれるので 2 個。クライン四元群 ${1, 7, 9, 15}$ が 1 個。計 3 個
- 位数 8: 1 個

合計 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 。

検算: $Z /2 \times Z /4$ の部分群の個数は 8 であることが知られている（これと一致）。

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