体論・ガロア理論の問題

クンマー理論の適用. $K=\mathbb{Q}(\omega )$ は $1$ の原始 $3$ 乗根 $\omega$ を含み、標数は $3$ と互いに素である。したがってクンマー理論により、$L=K(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5})$ は $K$ 上のガロア拡大であり、
$$\mathrm{Gal}(L/K)\cong \mathrm{Hom}\left(\Delta ,{\mu }_3\right),\Delta =⟨2,5⟩K^{\times 3}/K^{\times 3}$$
となる。特に $\mathrm{Gal}(L/K)$ は指数 $3$ のアーベル群で、位数は $|\Delta |$ に等しい。

$|\Delta |=9$ の確認. $\Delta$ は $2,5$ の像で生成され、各元の位数は $1$ または $3$ なので $|\Delta |\le 9$。$|\Delta |=9$ を示すには、$0\le a,b\le 2$, $(a,b)\ne (0,0)$ に対して $c=2^a{5}^b$ が $K$ の中で $3$ 乗数でないことを示せばよい。

$c=2^a{5}^b$ は素因数分解を見ると $\mathbb{Q}$ の $3$ 乗数ではないので、$x^3-c$ は $\mathbb{Q}$ 上に根をもたず、$3$ 次式であるから $\mathbb{Q}$ 上既約である。よってその任意の根 $\gamma$ について $[\mathbb{Q}(\gamma ):\mathbb{Q}]=3$。もし $c$ が $K$ で $3$ 乗数なら $x^3-c$ の根 $\gamma$ が $K$ に属し、$3=[\mathbb{Q}(\gamma ):\mathbb{Q}]$ が $[K:\mathbb{Q}]=2$ を割り切ることになり矛盾する。

したがって $|\Delta |=9$ で、$\Delta \cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$、ゆえに
$$\mathrm{Gal}(L/K)\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2,[L:K]=9.$$

中間体の個数. ガロアの基本定理より、中間体 $M$ は $G=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$ の部分群と一対一に対応する。$G$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の $2$ 次元ベクトル空間とみると、部分群は部分空間であり、
- 位数 $1$ の部分群: $1$ 個
- 位数 $3$ の部分群（$1$ 次元部分空間）: $\frac{3^2-1}{3-1}=4$ 個
- 位数 $9$ の部分群: $1$ 個

で合計 $6$ 個である。対応する中間体は $L$、$K(\sqrt[3]{2})$, $K(\sqrt[3]{5})$, $K(\sqrt[3]{10})$, $K(\sqrt[3]{20})$、$K$ である（$3$ 次の中間体は $\Delta$ の位数 $3$ の部分群 $⟨2⟩,⟨5⟩,⟨10⟩,⟨20⟩$ に対応する）。

よって求める個数は $6$。

$K=\mathbb{Q}(\omega )$ は $1$ の原始 $3$ 乗根を含むので、クンマー理論が使える。$L=K(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{5})$ は $K$ 上の巡回 $3$ 次拡大の合成であり、$L/K$ はガロア拡大でガロア群は $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$ の部分群となる。

次数の確認: $2^a{5}^b$ ($a,b\in \{0,1,2\}$, $(a,b)\ne (0,0)$) が $K$ で立方数になると仮定する。$K$ は $\mathbb{Q}$ の2次拡大なので、$K$ での立方根 $\gamma$ (${\gamma }^3=2^a{5}^b$) の $\mathbb{Q}$ 上の次数は $3$ の約数かつ $2$ 以下の次数の元から来る。実の立方根 $\sqrt[3]{2^a{5}^b}$ は $\mathbb{Q}$ 上3次（$2^a{5}^b$ は有理数の立方でないため $x^3-2^a{5}^b$ が既約）で、$[K:\mathbb{Q}]=2$ なので $K$ には入らない。他の立方根も $\omega$ 倍で同様。よって $2,5$ は $K^{\times }/(K^{\times }{)}^3$ で独立で、$[L:K]=9$、$\mathrm{Gal}(L/K)\cong (\mathbb{Z}/3{)}^2$。

中間体 $M$ はガロア対応により部分群と1対1に対応する。$(\mathbb{Z}/3{)}^2$ の部分群は、位数 $1$: 1個、位数 $3$: $(9-1)/(3-1)=4$ 個、位数 $9$: 1個。合計 $1+4+1=6$。

検算: 位数3の部分群（${\mathbb{F}}_3^2$ の直線）の個数は ${\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_3)$ の点数 $3+1=4$。中間体は $K(\sqrt[3]{2}),K(\sqrt[3]{5}),K(\sqrt[3]{10}),K(\sqrt[3]{20})$ に対応する4個と、$K$, $L$ の計6個。