体論・ガロア理論の問題

(1) $\alpha$ を根にもつ多項式を作る。
$\alpha -\sqrt{3}=\sqrt[3]{2}$ の両辺を $3$ 乗すると
$${\alpha }^3-3\sqrt{3}{\alpha }^2+9\alpha -3\sqrt{3}=2$$
となる。$\sqrt{3}$ を含む項を右辺に集めると
$${\alpha }^3+9\alpha -2=3\sqrt{3}({\alpha }^2+1).(1)$$
両辺を $2$ 乗すると
$$({\alpha }^3+9\alpha -2{)}^2=27({\alpha }^2+1{)}^2.$$
左辺は ${\alpha }^6+18{\alpha }^4-4{\alpha }^3+81{\alpha }^2-36\alpha +4$、右辺は $27{\alpha }^4+54{\alpha }^2+27$ なので
$$f(x)=x^6-9x^4-4x^3+27x^2-36x-23$$
とおけば $f(\alpha )=0$ である。

(2) $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$ を示す。
$x^2-3$ は既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2$。$x^3-2$ は $p=2$ のアイゼンシュタインの判定法により既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$。$M=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[3]{2})$ とおくと、$[M:\mathbb{Q}]$ は $2$ と $3$ の両方で割り切れる。また $\sqrt[3]{2}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 上の $3$ 次式 $x^3-2$ の根なので $[M:\mathbb{Q}]\le 2\cdot 3=6$ である。よって $[M:\mathbb{Q}]=6$。

次に $\mathbb{Q}(\alpha )=M$ を示す。$\alpha$ は実数なので ${\alpha }^2+1>0$ である。$(1)$ より
$$\sqrt{3}=\frac{{\alpha }^3+9\alpha -2}{3({\alpha }^2+1)}\in \mathbb{Q}(\alpha )$$
であり、$\sqrt[3]{2}=\alpha -\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\alpha )$ となる。したがって $M\subseteq \mathbb{Q}(\alpha )$ である。逆の包含 $\mathbb{Q}(\alpha )\subseteq M$ は明らかなので、$\mathbb{Q}(\alpha )=M$ が成り立ち、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$ を得る。

(3) 結論。
$\alpha$ の最小多項式は $6$ 次であり、$\alpha$ を根にもつモニックな多項式を割り切る。$f(x)$ はモニックな $6$ 次式で $f(\alpha )=0$ を満たすから、$f(x)$ 自身が最小多項式である。
$$x^6-9x^4-4x^3+27x^2-36x-23$$
（数値で確かめると $\alpha \approx 2.99197$ に対して $f(\alpha )\approx 0$ となる。）

$c=\sqrt[3]{2}$ とおくと $\alpha -\sqrt{3}=c$ なので $(\alpha -\sqrt{3}{)}^3=2$ が成り立つ。展開すると ${\alpha }^3-3\sqrt{3}{\alpha }^2+9\alpha -3\sqrt{3}=2$ となり、${\alpha }^3+9\alpha -2=3\sqrt{3}({\alpha }^2+1)$ を得る。両辺を2乗して $({\alpha }^3+9\alpha -2{)}^2=27({\alpha }^2+1{)}^2$ とする。左辺は ${\alpha }^6+18{\alpha }^4-4{\alpha }^3+81{\alpha }^2-36\alpha +4$、右辺は $27{\alpha }^4+54{\alpha }^2+27$ である。差をとると ${\alpha }^6-9{\alpha }^4-4{\alpha }^3+27{\alpha }^2-36\alpha -23=0$ となる。

既約性を確かめる。$\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[3]{2})$ は次数 $2$ と $3$ が互いに素なので $\mathbb{Q}$ 上 $6$ 次である。$\alpha$ の共役は $\pm \sqrt{3}+\sqrt[3]{2}{\omega }^k$（$\omega$ は1の原始3乗根）の6個で、すべて相異なる。上の6次式はこの6個を根にもつので、$\alpha$ の最小多項式の次数は $6$ であり、この6次式がそれにあたる。

数値で検算する。$\alpha \approx 2.99197$ を代入すると、各項は約 $717.4-721.3-107.1+241.7-107.7-23$ となり、合計はほぼ $0$ である。