体論・ガロア理論の問題

$c=\sqrt[3]{2}$ とおき、$L=\mathbb{Q}(c,\zeta )$ を考える。

$[L:\mathbb{Q}]$ の計算. $9$ 次円分多項式は ${\Phi }_9(x)=x^6+x^3+1$ で $\mathbb{Q}$ 上既約なので $[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=\phi (9)=6$ であり、$\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q}$ はガロア群 $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }$ をもつアーベル拡大である。$\omega ={\zeta }^3=e^{2\pi i/3}$ は $\mathbb{Q}(\zeta )$ に含まれる。

もし $c\in \mathbb{Q}(\zeta )$ なら、$\mathbb{Q}(c)$ はアーベル拡大の中間体なので $\mathbb{Q}$ 上ガロアになるはずである。しかし $c$ の最小多項式 $x^3-2$（アイゼンシュタインの判定法により既約）の他の根 $\omega c,{\omega }^{2}c$ は実数でなく、実数体の部分体 $\mathbb{Q}(c)$ に含まれないので、$\mathbb{Q}(c)/\mathbb{Q}$ は正規でない。よって $c\notin \mathbb{Q}(\zeta )$。

$\mathbb{Q}(\zeta )$ は $1$ の原始 $3$ 乗根 $\omega$ を含むので、$x^3-2$ は $\mathbb{Q}(\zeta )$ 上で、根を 1 つ持てば $c,\omega c,{\omega }^{2}c$ のすべてを持って完全に分解する。根を持たない $3$ 次式は既約だから、$c\notin \mathbb{Q}(\zeta )$（したがって $\omega c,{\omega }^{2}c\notin \mathbb{Q}(\zeta )$）より $x^3-2$ は $\mathbb{Q}(\zeta )$ 上既約である。ゆえに $$[L:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta )(c):\mathbb{Q}(\zeta )][\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=3\cdot 6=18.$$
$L$ は $(x^3-2){\Phi }_9(x)$ の最小分解体なので $L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大で、$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数は $18$ である。

$G$ の元の記述. $\sigma \in G$ は $\sigma (c)={\omega }^{a}c$ $(a\in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, $\sigma (\zeta )={\zeta }^b$ $(b\in (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times })$ で定まり、$\sigma$ に組 $(a,b)$ を対応させる写像は単射である。組 $(a,b)$ は $3\cdot 6=18$ 通りで $|G|=18$ だから、これは全単射である。

$\alpha$ の共役の個数. $\alpha \in L$ の $\mathbb{Q}$ 上の共役は $\sigma (\alpha )={\omega }^{a}c+{\zeta }^b$ $(\sigma \in G)$ である。$\tau \in G$ を組 $(a^{\prime },b^{\prime })$ に対応する元とし、$\sigma (\alpha )=\tau (\alpha )$ とすると $$c({\omega }^a-{\omega }^{a^{\prime }})={\zeta }^{b^{\prime }}-{\zeta }^b\in \mathbb{Q}(\zeta ).$$ $a\ne a^{\prime }$ なら ${\omega }^a-{\omega }^{a^{\prime }}\ne 0$ で割って $c\in \mathbb{Q}(\zeta )$ となり矛盾。よって $a=a^{\prime }$、すると ${\zeta }^b={\zeta }^{b^{\prime }}$ から $b=b^{\prime }$ で $\sigma =\tau$。したがって $\alpha$ の $G$ による像は $18$ 個すべて相異なる。

$\alpha$ の最小多項式の次数は $\alpha$ の相異なる共役 $\{\sigma (\alpha )\mid \sigma \in G\}$ の個数に等しい（あるいは、$\alpha$ を固定する $G$ の元は恒等写像だけなので、ガロア対応により $\mathbb{Q}(\alpha )=L$）。よって $$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=18.$$

$K=\mathbb{Q}(\zeta )$, $\omega ={\zeta }^3$ とする。$[K:\mathbb{Q}]=\phi (9)=6$。

(1) $\sqrt[3]{2}\notin K$ を示す。$K/\mathbb{Q}$ はアーベル拡大なので $K$ の部分体はすべて $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大である。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ は $x^3-2$ の他の根 $\omega \sqrt[3]{2}$ を含まないので $\mathbb{Q}$ 上ガロアでない。よって $\sqrt[3]{2}\notin K$。$x^3-2$ は $K$ 上でも根をもたないので既約（3 次式）である。したがって $L=K(\sqrt[3]{2})$ に対し $[L:\mathbb{Q}]=6\cdot 3=18$。$L$ は $x^3-2$ と $x^9-1$ の最小分解体なので $\mathbb{Q}$ 上ガロアで、ガロア群の位数は 18。

(2) $\mathbb{Q}(\alpha )=L$ を示す。$\sigma \in \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は $\sigma (\sqrt[3]{2})={\omega }^j\sqrt[3]{2}$ ($j=0,1,2$)、$\sigma (\zeta )={\zeta }^k$ ($k\in (\mathbb{Z}/9{)}^{\times }$、6 通り) で決まり、$3\cdot 6=18$ 個がすべて現れる。$\sigma (\alpha )={\omega }^j\sqrt[3]{2}+{\zeta }^k$。
二つの $\sigma ,{\sigma }^{\prime }$ で $\sigma (\alpha )={\sigma }^{\prime }(\alpha )$ とすると $({\omega }^j-{\omega }^{j^{\prime }})\sqrt[3]{2}={\zeta }^{k^{\prime }}-{\zeta }^k$。$j\ne j^{\prime }$ なら ${\omega }^j-{\omega }^{j^{\prime }}\ne 0$ かつ両辺の係数は $K$ の元なので $\sqrt[3]{2}\in K$ となり (1) に反する。よって $j=j^{\prime }$、すると ${\zeta }^k={\zeta }^{k^{\prime }}$ より $k=k^{\prime }$。したがって 18 個の共役 $\sigma (\alpha )$ はすべて相異なり、$\alpha$ の安定化群は自明、すなわち $\mathbb{Q}(\alpha )=L$。

以上より $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=18$。