$x^{n} - a$ の分解体とガロア群

$x^{n} - a$ の分解体 $Q (n a, ζ_{n})$ の次数を、 $Q (n a) \cap Q (ζ_{n})$ （ $- 3$ などの重なり）に注意して求め、ガロア群を $σ (n a) = ζ_{n}^{b} n a, σ (ζ_{n}) = ζ_{n}^{c}$ の組 $(b, c)$ で表して群の構造（ $x^{p} - a$ なら $Z / p ⋊ (Z / p)^{\times}$ 、 $x^{6} - 2$ なら位数 $12$ の $D_{6}$ ）を特定できる

前提

円分体のガロア群と部分体（大学院数学体論・ガロア理論）
二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（大学院数学体論・ガロア理論）
小さい非可換群の部分群の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）
合成体の拡大次数と体の交わり（大学数学代数学）

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算数中学高校大学大学院

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円分体のガロア群と部分体（大学院数学体論・ガロア理論）
二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（大学院数学体論・ガロア理論）
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二面体群の共役類（大学数学代数学）
小さい非可換群の部分群の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）
合成体の拡大次数と体の交わり（大学数学代数学）

説明

$x^{n} - a$ （ $a \in Q$ , $a \neq = 0$ ）の最小分解体は、1 つの実根または複素根 $α = n a$ と $1$ の原始 $n$ 乗根 $ζ_{n}$ で生成される体 $Q (α, ζ_{n})$ です。その次数は $[Q (α) : Q] \cdot φ (n)$ をそのまま掛けたものとは限らず、2 つの体の交わり（ $2$ や $- 3$ などの重なり）で割る必要があります。さらにガロア群の各元を「 $α$ を何倍の $ζ_{n}$ に送るか」と「 $ζ_{n}$ を何乗に送るか」の組 $(b, c)$ で表すと、群の積の規則が具体的に書け、 $Z / p ⋊ (Z / p)^{\times}$ や $D_{6}$ などの構造が読み取れます。

なぜそうしてよいのか

$x^{n} - a$ の根は $ζ_{n}^{k} α$ （ $k = 0, \dots, n - 1$ ）なので、分解体は $L = Q (α, ζ_{n})$ です（ $ζ_{n} = (ζ_{n} α) / α$ も $L$ に入る）。 $L$ は $Q (α)$ と $Q (ζ_{n})$ の合成体で、 $Q (ζ_{n}) / Q$ はガロア拡大です。一方がガロア拡大なら合成体の次数の公式 $[K_{1} K_{2} : Q] = \frac{[ K _{1} : Q ] [ K _{2} : Q ]}{[ K _{1} \cap K _{2} : Q ]}$ が成り立つ（ $K_{2} / Q$ がガロアなら $K_{1} K_{2} / K_{1}$ のガロア群は $Gal (K_{2} / K_{1} \cap K_{2})$ と同一視できる）ので、
$[L : Q] = \frac{[ Q ( α ) : Q ] φ ( n )}{[ Q ( α ) \cap Q ( ζ _{n} ) : Q ]}$
です。交わりは $Q (ζ_{n})$ の部分体なので、円分体の部分体の一覧から候補を絞れます。特に $α$ が実数なら交わりは実数体に含まれ、 $α^{k}$ として現れる $a$ のような元が重なりの正体になります。

ガロア群の元 $σ$ は $α$ を $x^{n} - a$ の根 $ζ_{n}^{b} α$ に、 $ζ_{n}$ を原始 $n$ 乗根 $ζ_{n}^{c}$ （ $g cd (c, n) = 1$ ）に送り、この 2 つで $σ$ は決まります。 $σ = (b, c)$ , $τ = (b^{'}, c^{'})$ と書くと
$σ τ (α) = σ (ζ_{n}^{b^{'}} α) = ζ_{n}^{c b^{'}} ζ_{n}^{b} α, σ τ (ζ_{n}) = ζ_{n}^{c c^{'}}$
なので $(b, c) (b^{'}, c^{'}) = (b + c b^{'}, c c^{'})$ 。これは $Z / n ⋊ (Z / n)^{\times}$ （位数 $n φ (n)$ ）の積そのもので、 $σ \mapsto (b, c)$ は単射準同型です。よって $G$ はこの群の位数 $[L : Q]$ の部分群で、 $[L : Q] = n φ (n)$ ならすべての組が現れ $G ≅ Z / n ⋊ (Z / n)^{\times}$ です。 $x^{p} - a$ （ $a$ が $p$ 乗でない）なら $[L : Q] = p (p - 1)$ でこの場合にあたり、 $x^{6} - 2$ なら $6 \cdot 2 = 12$ で $(Z /6)^{\times} = {\pm 1}$ なので回転 $(1, 1)$ と鏡映 $(0, - 1)$ で生成される $D_{6}$ になります。

手順

$[Q (α) : Q]$ を求める（ $x^{n} - a$ が既約なら $n$ 。既約性はアイゼンシュタインの判定法「ある素数 $p$ が最高次以外の係数をすべて割り、定数項を $p^{2}$ が割らなければ $Q$ 上既約」などで確かめる）
$[Q (ζ_{n}) : Q] = φ (n)$ を計算する
$Q (α) \cap Q (ζ_{n})$ を求める: $Q (ζ_{n})$ の部分体のうち $Q (α)$ に入るものを調べる（ $α^{k}$ が $a$ , $- 3$ などになっていないか、 $α$ が実数なら交わりは $Q (ζ_{n})$ の実部分体に含まれることなどを使う）
$[L : Q] = \frac{[ Q ( α ) : Q ] φ ( n )}{[ Q ( α ) \cap Q ( ζ _{n} ) : Q ]}$ で次数（＝ガロア群の位数）を出す
構造を調べるときは元を $(b, c)$ で表し、積の規則 $(b, c) (b^{'}, c^{'}) = (b + c b^{'}, c c^{'})$ を使う。 $[L : Q] = n φ (n)$ なら $G ≅ Z / n ⋊ (Z / n)^{\times}$

例題

$x^{8} - 2$ の $Q$ 上の最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $Gal (L / Q)$ の位数を求めよ。

例題の解答

$α = 82$ （正の実数）とし、 $L = Q (α, ζ_{8})$ 。

手順 1: $x^{8} - 2$ は素数 $2$ についてアイゼンシュタインの判定法の条件を満たすので既約で、 $[Q (α) : Q] = 8$ 。

手順 2: $φ (8) = 4$ なので $[Q (ζ_{8}) : Q] = 4$ 。 $Gal (Q (ζ_{8}) / Q) ≅ (Z /8)^{\times} ≅ Z /2 \times Z /2$ で、2 次の部分体は $Q (i)$ , $Q (2)$ , $Q (- 2)$ の 3 つ（ $ζ_{8} + ζ_{8}^{- 1} = 2$ , $ζ_{8}^{2} = i$ ）。

手順 3: $Q (α)$ は実数体に含まれる。 $Q (ζ_{8})$ の部分体で実数体に含まれるのは $Q$ と $Q (2)$ だけ（ $Q (ζ_{8})$ 自身と $Q (i)$ , $Q (- 2)$ は虚数を含む）。一方 $2 = α^{4} \in Q (α)$ 。よって $Q (α) \cap Q (ζ_{8}) = Q (2)$ で、次数は $2$ 。

手順 4: $[L : Q] = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ 。ガロア群の位数は拡大次数に等しいので $16$ 。（ $8 φ (8) = 32$ より小さいので、 $G$ は $Z /8 ⋊ (Z /8)^{\times}$ の指数 $2$ の部分群になる。）

答え: $16$

よくある誤り

重なりを見落として $n φ (n)$ を答えてしまう誤り。 $x^{8} - 2$ で $8 \cdot 4 = 32$ とするのは誤り。正しくは $2 = α^{4}$ が $Q (ζ_{8})$ にも入るので $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$
$- 3$ の重なりを見落とす誤り。 $x^{6} + 3$ で $α = 6 - 3$ とすると $α^{3} = \pm - 3$ で $ζ_{6} = \frac{1 + - 3}{2} \in Q (α)$ 。分解体を $6 \cdot 2 = 12$ 次とするのは誤りで、正しくは $Q (α)$ 自身が分解体で $6$ 次
$x^{n} - a$ が可約なのに $[Q (α) : Q] = n$ としてしまう誤り。 $x^{4} - 4 = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2)$ の分解体は $Q (2, i)$ で $4$ 次であり、 $4 \cdot φ (4) = 8$ 次ではない
$(b, c)$ の積を成分ごとの和・積 $(b + b^{'}, c c^{'})$ としてしまう誤り。これだとガロア群が可換になってしまう。正しくは $(b, c) (b^{'}, c^{'}) = (b + c b^{'}, c c^{'})$ で、例えば $x^{3} - 2$ で $(1, 1) (0, 2) = (1, 2)$ だが $(0, 2) (1, 1) = (2, 2)$ となり、可換でない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$L$ を多項式 $x^{6} + 3 \in Q [x]$ の $Q$ 上の最小分解体（ $C$ の部分体）とする。拡大次数 $[L : Q]$ を求めよ。

xn−a の分解体とガロア群

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

$x^{n} - a$ の分解体とガロア群