二項多項式 $x^p-a$ の既約性

$a\ne 0$ とし、$\theta$ を $x^p=a$ の 1 つの複素数解、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{p}+i\sin \frac{2\pi }{p}$ とすると、$x^p-a$ の根は $\theta ,\theta \zeta ,\dots ,\theta {\zeta }^{p-1}$ です。$x^p-a=g(x)h(x)$ と $K$ 上の次数 $d$（$0<d<p$）のモニックな因数 $g$ に分かれたとします。$g$ の根はこの中の $d$ 個 $\theta {\zeta }^{k_1},\dots ,\theta {\zeta }^{k_d}$ なので、$g$ の定数項は $(-1{)}^d{\theta }^d{\zeta }^s$（$s=k_1+\cdots +k_d$）であり、$c={\theta }^d{\zeta }^s$ は $K$ の元です。両辺を $p$ 乗すると ${\zeta }^p=1$ より $c^p=({\theta }^p{)}^d=a^d$。$p$ は素数で $0<d<p$ なので $d$ と $p$ は互いに素で、整数 $u,v$ を $ud+vp=1$ ととれます。すると
$$a=a^{ud+vp}=(a^d{)}^u(a^v{)}^p=(c^p{)}^u(a^v{)}^p=(c^u{a}^v{)}^p$$
で（$a\ne 0$ より $\theta \ne 0$、$c\ne 0$ なので $u$ や $v$ が負でもよい）、$c^u{a}^v\in K$ ですから $a$ は $K$ の $p$ 乗になります。対偶をとると「$a$ が $K$ の $p$ 乗でなければ $x^p-a$ は既約」です。根を 1 つずつ見るのではなく、根の積をとると $\zeta$ の部分が $p$ 乗で消える、というのが要点です。

次に、$x^p-a$ が $K$ 上既約で $\theta$ がその根なら $[K(\theta ):K]=p$ です。$[L:K]=e$ が $p$ と互いに素な拡大 $L$ をとると、次数の積の公式で
$$[L(\theta ):K]=[L(\theta ):L]e=[L(\theta ):K(\theta )]p$$
なので $p$ は $[L(\theta ):L]e$ を割り切り、$e$ と互いに素だから $p\mid [L(\theta ):L]$。一方 $\theta$ は $L$ 上の $p$ 次式 $x^p-a$ の根なので $[L(\theta ):L]\le p$。よって $[L(\theta ):L]=p$ で、$x^p-a$ は $L$ 上の $\theta$ の最小多項式、つまり $L[x]$ でも既約です。

最後に $L=\mathbb{Q}({\zeta }_p)$（${\zeta }_p=\cos \frac{2\pi }{p}+i\sin \frac{2\pi }{p}$）の次数です。$x^p-1=(x-1)\Phi (x)$、$\Phi (x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$ で、${\zeta }_p\ne 1$ だから $\Phi ({\zeta }_p)=0$。$x$ を $x+1$ に置きかえると
$$\Phi (x+1)=\frac{(x+1{)}^p-1}{x}=x^{p-1}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1}\right)x^{p-2}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{2}\right)x^{p-3}+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1}\right)$$
で、$1\le k\le p-1$ の二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)=\frac{p!}{k!(p-k)!}$ は分母に $p$ を含まないので $p$ の倍数、定数項 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{p-1}\right)=p$ は $p^2$ の倍数でないので、アイゼンシュタインの判定法（素数 $p$）により $\Phi (x+1)$ は既約です。$\Phi (x)=g(x)h(x)$ と分解すれば $\Phi (x+1)=g(x+1)h(x+1)$ と同じ次数で分解するので、$\Phi (x)$ も既約で、これが ${\zeta }_p$ の最小多項式です。よって $[\mathbb{Q}({\zeta }_p):\mathbb{Q}]=p-1$。$p-1$ は $p$ と互いに素なので、$a\in \mathbb{Q}$ が有理数の $p$ 乗でなければ $[\mathbb{Q}({\zeta }_p,\sqrt[p]{a}):\mathbb{Q}]=p(p-1)$ が出ます。