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体論・ガロア理論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学体論・ガロア理論

$K$ を体（標数は任意）、 $p$ を素数とし、 $a \in K$ は $K$ のどの元の $p$ 乗にもならない（すなわち $c^{p} = a$ となる $c \in K$ が存在しない）とする。 $L$ を $K$ の有限次拡大体で、拡大次数 $[L : K]$ が $p$ で割り切れないものとする。 $L$ の代数閉包 $Ω$ をとり、 $α \in Ω$ を $α^{p} = a$ をみたす元とする。

このとき、 $[L (α) : L] = p$ であること、すなわち多項式 $x^{p} - a$ が $L [x]$ で既約であることを証明せよ。

ただし、拡大次数の連鎖律（ $[M : F] = [M : E] [E : F]$ ）、代数的な元 $β$ について $[F (β) : F]$ が $β$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しいこと、代数閉体上の多項式環における一意分解は用いてよい。

この問題で使うもの

二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $K$ 上で $x^{p} - a$ が既約であることを示し、 $[K (α) : K] = p$ を得ましょう。そのあと、 $L (α)$ の $K$ 上の次数を、 $K (α)$ を経由する場合と $L$ を経由する場合の 2 通りに分解して比べます。

ヒント 2

$x^{p} - a = g h$ （ $g$ はモニック、 $de g g = d$ 、 $1 \leq d \leq p - 1$ ）と分解できたとすると、 $g$ の定数項は $\pm$ （ $x^{p} - a$ の根 $d$ 個の積）です。この積を $c$ とすると $c \in K$ かつ $c^{p} = a^{d}$ です。 $g cd (d, p) = 1$ からベズーの等式 $u d + v p = 1$ を使います。

ヒント 3

$a = (c^{u} a^{v})^{p}$ となって矛盾するので、 $x^{p} - a$ は $K$ 上既約で $[K (α) : K] = p$ です。一方 $[L (α) : L] \leq p$ であり、 $[L (α) : K] = [L (α) : K (α)] \cdot p = [L (α) : L] \cdot [L : K]$ が成り立ちます。ここから $p$ の割り切り方を考えます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

背理法の仮定として $x^{p} - a = g h$ （ $g \in K [x]$ モニック、 $1 \leq de g g = d \leq p - 1$ ）とおき、代数閉包で根に分解して $g$ が $d$ 個の根の 1 次因子の積であることを述べている（2 点）
$g$ の定数項から $c = \prod_{j \in S} β_{j} \in K$ を作り、 $c^{p} = a^{d}$ を導いている（2 点）
$g cd (d, p) = 1$ とベズーの等式 $u d + v p = 1$ を使って $a = (c^{u} a^{v})^{p}$ を示し、 $a \neq = 0$ に注意したうえで仮定との矛盾を導いて $K$ 上の既約性と $[K (α) : K] = p$ を結論している（2 点）
$α$ が $x^{p} - a \in L [x]$ の根であることから $[L (α) : L] \leq p$ を述べている（1 点）
$K (α) \subset L (α)$ と $L \subset L (α)$ の 2 つの塔に連鎖律を使い、 $p ∣ [L (α) : L] \cdot [L : K]$ と $p ∤ [L : K]$ から $p ∣ [L (α) : L]$ を導き、 $[L (α) : L] = p$ と結論している（3 点）

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模範解答を読む

方針. まず $x^{p} - a$ が $K$ 上既約であることを示して $[K (α) : K] = p$ を得る。次に、 $K (α)$ と $L$ をともに含む $L (α)$ の $K$ 上の次数を 2 通りに分解し、 $p ∤ [L : K]$ を使って $[L (α) : L] = p$ を導く。

以下 $m = [L : K]$ とおく。また $a \neq = 0$ である（ $0 = 0^{p}$ は $K$ の元の $p$ 乗なので、仮定より $a \neq = 0$ ）。

第 1 段: $x^{p} - a$ は $K [x]$ で既約である.

背理法で示す。 $x^{p} - a$ が $K [x]$ で可約であると仮定すると、モニックな $g, h \in K [x]$ で $x^{p} - a = g h$ 、 $1 \leq de g g \leq p - 1$ をみたすものがとれる。 $d = de g g$ とおく。

$Ω$ は代数閉体で $K \subset L \subset Ω$ だから、 $Ω [x]$ で
$x^{p} - a = j = 1 \prod p (x - β_{j}) (β_{j} \in Ω)$
と 1 次式の積に分解し、各根は $β_{j}^{p} = a$ をみたす（重複があってもよい）。 $Ω [x]$ における一意分解により、 $x^{p} - a$ のモニックな因子 $g$ はこれらの 1 次因子のうち $d$ 個の積である。すなわち、ある $d$ 元部分集合 $S \subset {1, \dots, p}$ により $g = \prod_{j \in S} (x - β_{j})$ と書ける。

このとき
$c := (- 1)^{d} g (0) = j \in S \prod β_{j}$
であり、 $g \in K [x]$ だから $c \in K$ である。さらに
$c^{p} = j \in S \prod β_{j}^{p} = a^{d}$
が成り立つ。 $a \neq = 0$ より $c \neq = 0$ である。

$p$ は素数で $1 \leq d \leq p - 1$ だから $g cd (d, p) = 1$ であり、整数 $u, v$ で $u d + v p = 1$ をみたすものがある。 $a, c$ は $K$ の $0$ でない元なので負の指数のべきも $K$ の元として意味をもち、
$a = a^{u d + v p} = (a^{d})^{u} (a^{v})^{p} = (c^{p})^{u} (a^{v})^{p} = (c^{u} a^{v})^{p}$
となる。 $c^{u} a^{v} \in K$ だから、 $a$ は $K$ の元の $p$ 乗になり、仮定に反する。よって $x^{p} - a$ は $K [x]$ で既約である。

第 2 段: $[K (α) : K] = p$ .

$α$ は $x^{p} - a \in K [x]$ の根なので $K$ 上代数的であり、その最小多項式 $μ (x)$ は $x^{p} - a$ を割り切る。第 1 段より $x^{p} - a$ はモニックかつ既約だから、 $μ (x) = x^{p} - a$ である。したがって $[K (α) : K] = de g μ = p$ 。

第 3 段: $[L (α) : L] = p$ .

$α$ は $x^{p} - a \in L [x]$ の根なので、 $L$ 上の最小多項式 $ν (x)$ は $x^{p} - a$ を割り切り、
$1 \leq [L (α) : L] = de g ν \leq p (*)$
である。特に $L (α)$ は $L$ 上有限次であり、 $L$ は $K$ 上有限次だから、 $L (α)$ は $K$ 上有限次である。

$Ω$ の中で $K \subset K (α) \subset L (α)$ かつ $K \subset L \subset L (α)$ である（ $K (α)$ は $K$ と $α$ を含む最小の体で、 $L (α)$ は $K$ と $α$ を含むから）。連鎖律を 2 通りに用いると
$[L (α) : K] = [L (α) : K (α)] \cdot [K (α) : K] = [L (α) : K (α)] \cdot p,$
$[L (α) : K] = [L (α) : L] \cdot [L : K] = [L (α) : L] \cdot m .$
よって $p$ は $[L (α) : L] \cdot m$ を割り切る。 $p$ は素数で $p ∤ m$ だから、 $p ∣ [L (α) : L]$ である。これと $(*)$ から $[L (α) : L] = p$ である。

最後に、このとき $de g ν = p = de g (x^{p} - a)$ で $ν ∣ x^{p} - a$ 、両方モニックだから $ν = x^{p} - a$ となり、 $x^{p} - a$ は $L$ 上の既約多項式（ $α$ の最小多項式）である。

以上により、 $[L (α) : L] = p$ 、すなわち $x^{p} - a$ は $L [x]$ で既約であることが示された。 $■$

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