体論・ガロア理論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学体論・ガロア理論

$p$ を奇素数とし、 $ζ = e^{2 π i / p} \in C$ 、 $K = Q (ζ)$ とする。 $α = p 2$ 、 $β = p 3$ をそれぞれ $2, 3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、 $C$ の部分体として $K (α) \neq = K (β)$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K : Q] = p - 1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L / F$ において $Gal (L / F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。

この問題で使うもの

二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（説明と入口の問題）
クンマー拡大（説明と入口の問題）
拡大次数と次数の積の公式（説明と入口の問題）
ガロアの基本定理と中間体の数え上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

背理法で $L = K (α) = K (β)$ と仮定します。 $ζ \in K$ なので $L / K$ はクンマー拡大です。まず $[L : K] = p$ を示し、ガロア群の生成元 $σ$ が $α, β$ にどう作用するかを調べましょう。

ヒント 2

$σ (α) = ζ^{s} α$ 、 $σ (β) = ζ^{t} β$ と書けます。 $k s \equiv t (mod p)$ となる $k$ をとると、 $β / α^{k}$ は $σ$ で固定されます。その結果得られる $3 = γ^{p} 2^{k}$ （ $γ \in K$ ）を $Q$ の世界に持ち込むには、 $K / Q$ のノルムを使います。

ヒント 3

$[Q (α) : Q] = p$ （アイゼンシュタイン）と $[K : Q] = p - 1$ が互いに素であることから $[L : K] = p$ が出て、 $L / K$ は $x^{p} - 2$ の最小分解体なので位数 $p$ の巡回ガロア拡大です。 $s, t \neq \equiv 0 (mod p)$ を確認し、 $γ = β / α^{k} \in K$ を得たら、両辺のノルムをとって $2$ の指数を比べます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

背理法の仮定 $L = K (α) = K (β)$ をおき、 $[Q (α) : Q] = p$ と $[K : Q] = p - 1$ が互いに素であることから $[L : K] = p$ を導いている（2 点）
$ζ \in K$ より $L$ が $x^{p} - 2$ の最小分解体で、 $L / K$ が位数 $p$ の巡回ガロア拡大であることを述べ、生成元 $σ$ をとっている（1 点）
$σ (α) = ζ^{s} α$ 、 $σ (β) = ζ^{t} β$ で $s, t \neq \equiv 0 (mod p)$ であることを、 $σ \neq = id$ から示している（2 点）
$k s \equiv t$ となる $1 \leq k \leq p - 1$ をとり、 $γ = β / α^{k}$ が $σ$ で固定されることから $γ \in K$ 、 $3 = γ^{p} 2^{k}$ を導いている（2 点）
$K / Q$ のノルム（ $H$ の元の像の積）が $Q$ に値をもつ乗法的写像で $N (r) = r^{p - 1}$ となることを使い、 $3^{p - 1} = N (γ)^{p} 2^{k (p - 1)}$ の $2$ 進付値を比べて $p ∣ k$ の矛盾を導いている（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

方針. 背理法で示す。 $L := K (α) = K (β)$ と仮定し、 $L / K$ が $p$ 次巡回拡大であることを使って $β = γ α^{k}$ （ $γ \in K$ 、 $1 \leq k \leq p - 1$ ）を導く。両辺を $p$ 乗し、 $K$ から $Q$ へのノルムをとって $2$ の指数を比べ、矛盾を得る。

背理法の仮定として、 $L := K (α) = K (β)$ とする。

第 1 段: $[L : K] = p$ .

$x^{p} - 2 \in Q [x]$ は素数 $2$ に関するアイゼンシュタイン多項式（最高次以外の係数は $2$ で割り切れ、定数項 $- 2$ は $4$ で割り切れない）なので $Q$ 上既約であり、 $α$ の最小多項式である。よって $[Q (α) : Q] = p$ 。また $[K : Q] = p - 1$ 。

$Q (α) \subset L$ 、 $K \subset L$ だから、連鎖律より $[L : Q]$ は $p$ でも $p - 1$ でも割り切れる。 $g cd (p, p - 1) = 1$ より $p (p - 1) ∣ [L : Q]$ 。一方、 $α$ は $x^{p} - 2 \in K [x]$ の根だから $[L : K] = [K (α) : K] \leq p$ で、 $[L : Q] = [L : K] (p - 1) \leq p (p - 1)$ 。よって $[L : Q] = p (p - 1)$ 、 $[L : K] = p$ である。

第 2 段: $L / K$ はガロア拡大で、ガロア群は位数 $p$ の巡回群.

$ζ \in K$ なので、 $x^{p} - 2$ の $p$ 個の根 $ζ^{i} α$ （ $i = 0, 1, \dots, p - 1$ 、 $ζ$ が $1$ の原始 $p$ 乗根なのでこれらは相異なる）はすべて $L = K (α)$ に属し、 $L$ は $K$ 上の $x^{p} - 2$ の最小分解体である。標数 $0$ なので $L / K$ はガロア拡大で、 $G := Gal (L / K)$ の位数は $[L : K] = p$ 。位数が素数の群は巡回群なので、 $G = ⟨ σ ⟩$ となる $σ$ がとれる（ $σ \neq = id$ ）。

第 3 段: $β = γ α^{k}$ （ $γ \in K$ 、 $1 \leq k \leq p - 1$ ）と書けること.

$σ (α)$ は $x^{p} - 2$ の根なので、ある整数 $s$ で $σ (α) = ζ^{s} α$ となる。もし $s \equiv 0 (mod p)$ なら $σ$ は $α$ と $K$ を固定するので $L = K (α)$ 全体を固定し、 $σ = id$ となって矛盾。よって $s \neq \equiv 0 (mod p)$ 。

同様に、 $σ (β)$ は $x^{p} - 3$ の根で $x^{p} - 3$ の根は $ζ^{j} β$ の形だから、ある整数 $t$ で $σ (β) = ζ^{t} β$ 。 $L = K (β)$ なので、上と同じ理由（ $σ$ が $β$ を固定すれば $L$ 全体を固定する）で $t \neq \equiv 0 (mod p)$ 。

$s$ は $mod p$ で可逆なので、 $k s \equiv t (mod p)$ をみたす $k \in {1, 2, \dots, p - 1}$ がただ 1 つある（ $t \neq \equiv 0$ より $k \neq \equiv 0$ ）。 $α \neq = 0$ だから $γ := β / α^{k} \in L$ が定まり、
$σ (γ) = \frac{ζ ^{t} β}{( ζ ^{s} α ) ^{k}} = ζ^{t - k s} \frac{β}{α ^{k}} = γ$
（ $ζ^{p} = 1$ と $t - k s \equiv 0 (mod p)$ による）。よって $γ$ は $G = ⟨ σ ⟩$ の全元で固定され、ガロア理論の基本定理より $γ \in K$ 。また $γ \neq = 0$ 。両辺を $p$ 乗して
$3 = β^{p} = γ^{p} α^{k p} = γ^{p} 2^{k} . (1)$

第 4 段: ノルムをとって矛盾を導く.

$K = Q (ζ)$ は $x^{p} - 1$ の $Q$ 上の最小分解体なのでガロア拡大で、 $H := Gal (K / Q)$ の位数は $p - 1$ 。 $x \in K$ に対し $N (x) := \prod_{τ \in H} τ (x)$ と定める。任意の $ρ \in H$ について $ρ (N (x)) = \prod_{τ \in H} (ρ τ) (x) = N (x)$ （ $τ \mapsto ρ τ$ は $H$ の全単射）なので、基本定理より $N (x) \in Q$ 。また $N (x y) = N (x) N (y)$ 、 $r \in Q$ なら $N (r) = r^{p - 1}$ 、 $x \neq = 0$ なら $N (x) \neq = 0$ である。

$(1)$ の両辺の $N$ をとると
$3^{p - 1} = N (γ)^{p} \cdot 2^{k (p - 1)} .$
$q := N (γ) \in Q^{\times}$ とする。 $0$ でない有理数 $r$ を $r = 2^{v} \frac{m}{n}$ （ $v \in Z$ 、 $m, n$ は奇数）と表したときの $v$ を $v_{2} (r)$ と書くと（素因数分解の一意性から $v$ は一意）、 $v_{2} (r r^{'}) = v_{2} (r) + v_{2} (r^{'})$ である。上式の両辺の $v_{2}$ をとると
$0 = p v_{2} (q) + k (p - 1) .$
よって $p ∣ k (p - 1)$ 。 $p$ は素数で $p ∤ p - 1$ だから $p ∣ k$ となるが、 $1 \leq k \leq p - 1$ に矛盾する。

したがって仮定は誤りで、 $K (p 2) \neq = K (p 3)$ である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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