体論・ガロア理論の問題

方針. 次数 ${\ell }^2$ のモニック既約多項式の根全体が、$E_{{\ell }^2}$ のうち ${\mathbb{F}}_q$ 上の次数がちょうど ${\ell }^2$ の元全体 $A$ と一致し、各多項式がちょうど ${\ell }^2$ 個の相異なる根をもち、異なる多項式は共通根をもたないことを示す。これで ${\ell }^{2}N=|A|$ となり、$|A|=q^{{\ell }^2}-q^{\ell }$ を示せばよい。

$n={\ell }^2$ とおき、
$$A:=\{\alpha \in E_n\mid [{\mathbb{F}}_q(\alpha ):{\mathbb{F}}_q]=n\}$$
と定める。

第 1 段: 次数 $n$ のモニック既約多項式 $f$ は、$A$ の中にちょうど $n$ 個の相異なる根をもつ.

$f$ の根 $\alpha \in \Omega$ を 1 つとる（$\Omega$ は代数閉体なので存在する）。$f$ はモニック既約なので $\alpha$ の最小多項式であり、$[{\mathbb{F}}_q(\alpha ):{\mathbb{F}}_q]=n$。よって ${\mathbb{F}}_q(\alpha )$ は元の個数 $q^n$ の有限体で、${\alpha }^{q^n}=\alpha$、すなわち $\alpha \in E_n$。したがって $f$ は $g(x):=x^{q^n}-x$ を割り切る（$\alpha$ の最小多項式は $\alpha$ を根にもつ多項式を割り切る）。

$g$ の形式的微分は、標数 $p$（$q$ は $p$ のべき）で $q^n=0$ となるので $g^{\prime }(x)=q^n{x}^{q^n-1}-1=-1$ である。もし $g$ が $\Omega$ に重根 $\beta$ をもてば $g^{\prime }(\beta )=0$ となるが、$g^{\prime }=-1$ なので不可能。よって $g$ の根はすべて相異なり、その因子 $f$ も $\Omega$ に $n$ 個の相異なる根をもつ。

$f$ の各根 $\beta$ について、上と同じ議論（$f$ が $\beta$ の最小多項式であること）により $[{\mathbb{F}}_q(\beta ):{\mathbb{F}}_q]=n$ かつ $\beta \in E_n$、すなわち $\beta \in A$ である。

第 2 段: 相異なる次数 $n$ のモニック既約多項式は共通根をもたず、$A$ の各元はちょうど 1 つのそれの根である.

$f\ne h$ が共通根 $\beta$ をもてば、$f,h$ はともに $\beta$ の最小多項式となり、最小多項式の一意性から $f=h$ で矛盾。また $\alpha \in A$ の最小多項式は次数 $[{\mathbb{F}}_q(\alpha ):{\mathbb{F}}_q]=n$ のモニック既約多項式で、$\alpha$ を根にもつ。

第 1 段・第 2 段より、$A$ は「次数 $n$ のモニック既約多項式の根の集合」（各 $n$ 個）に重複なく分割される。よって
$$nN=|A|.(1)$$

第 3 段: $E_n\setminus A=E_{\ell }$.

$\alpha \in E_n$ とし、$d:=[{\mathbb{F}}_q(\alpha ):{\mathbb{F}}_q]$ とおく。${\mathbb{F}}_q\subset {\mathbb{F}}_q(\alpha )\subset E_n$ と連鎖律から $d\mid [E_n:{\mathbb{F}}_q]={\ell }^2$。$\ell$ は素数なので $d\in \{1,\ell ,{\ell }^2\}$。

• $\alpha \notin A$ のとき、$d\in \{1,\ell \}$ で、いずれも $d\mid \ell$。${\mathbb{F}}_q(\alpha )$ は元の個数 $q^d$ の有限体なので ${\alpha }^{q^d}=\alpha$。$\ell =de$ と書き、写像 $\varphi (x)=x^{q^d}$ を $e$ 回くり返すと ${\varphi }^e(x)=x^{q^{de}}=x^{q^{\ell }}$ であり、$\varphi (\alpha )=\alpha$ から ${\alpha }^{q^{\ell }}={\varphi }^e(\alpha )=\alpha$。よって $\alpha \in E_{\ell }$。
• 逆に $\alpha \in E_{\ell }$ とする。まず $\alpha \in E_n$ である: $\psi (x)=x^{q^{\ell }}$ を $\ell$ 回くり返すと $x^{q^{{\ell }^2}}$ で、$\psi (\alpha )=\alpha$ から ${\alpha }^{q^{{\ell }^2}}=\alpha$。また ${\mathbb{F}}_q(\alpha )\subset E_{\ell }$ なので連鎖律から $d\mid \ell$、特に $d\le \ell <{\ell }^2$（$\ell \ge 2$）。よって $\alpha \notin A$。

以上より $E_{\ell }\subset E_n$ かつ $E_n\setminus A=E_{\ell }$。

第 4 段: 結論.

第 3 段より $|A|=|E_n|-|E_{\ell }|=q^{{\ell }^2}-q^{\ell }$。これを $(1)$ に代入して
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
が示された。$■$