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分離性と非分離拡大

形式的微分を使い $\gcd (f,f^{\prime })$ で重根の有無を判定でき、標数 $p$ で $f(x)=g(x^{p^e})$（$g$ は分離的）と書き直して、${\mathbb{F}}_p(t)$ 上の $x^p-t$ のような純非分離拡大を含む拡大の次数 $[L:K]$ と分離次数 $[L:K{]}_s$（$[L:K]=[L:K{]}_s[L:K{]}_i$）を求められる

前提

• 有限体の構造と部分体 （大学数学 代数学）
• 多項式の微分 （数学II 微分法と積分法）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式 $f$（既約）と体の標数を確認する。標数 $0$ なら $f$ は分離的で $[K(\alpha ):K{]}_s=[K(\alpha ):K]$

2. 形式的微分 $f^{\prime }$ を計算する。$f^{\prime }\ne 0$ なら $\gcd (f,f^{\prime })=1$ で $f$ は分離的（$e=0$）

3. $f^{\prime }=0$ なら $f$ は $x^p$ の多項式なので $f(x)=f_1(x^p)$ と書き、$f_1^{\prime }=0$ の間くり返して $f(x)=g(x^{p^e})$, $g^{\prime }\ne 0$ とする

4. $[K(\alpha ):K]=\mathrm{deg}f$、$[K(\alpha ):K{]}_s=\mathrm{deg}g$、$[K(\alpha ):K{]}_i=p^e$ と読み取る

5. 検算として $[K(\alpha ):K]=[K(\alpha ):K{]}_s[K(\alpha ):K{]}_i$（$\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g\cdot p^e$）を確かめる

例題

よくある誤り

• $f^{\prime }=0$ なら $f$ は可約だとしてしまう誤り。$K={\mathbb{F}}_p(t)$ 上の $f=x^p-t$ は $f^{\prime }=p{x}^{p-1}=0$ だが既約である。実際、根 $c$（$c^p=t$）を含む体で $x^p-t=(x-c{)}^p$ なので、$K[x]$ のモニックな因数は $(x-c{)}^d$（$0<d<p$）の形しかなく、その $x^{d-1}$ の係数 $-dc$ が $K$ に入る。$d$ は $p$ で割り切れず $K$ で $0$ でないので $c\in K$、$c=u/v$（$u,v\in {\mathbb{F}}_p[t]$, $v\ne 0$）とすると $u^p=t{v}^p$ で、$t$ についての次数を比べると $p\mathrm{deg}u=1+p\mathrm{deg}v$ となり、左辺は $p$ の倍数、右辺は $p$ で割って $1$ 余るので矛盾する。正しくは「既約だが重根をもつ」で、$L=K(c)$ について $[L:K]=p$、$[L:K{]}_s=1$、$[L:K{]}_i=p$。

• $f(x)=f_1(x^p)$ と 1 回書き直しただけで止めてしまう誤り。$x^{p^2}-t$ では $f_1(y)=y^p-t$ も $f_1^{\prime }=0$ なので、さらに $g(z)=z-t$ まで進めて $e=2$。正しくは $[K(\alpha ):K{]}_s=1$、$[K(\alpha ):K{]}_i=p^2$。

• 可約な多項式の重根を非分離性と取り違える誤り。例えば ${\mathbb{F}}_p$ 上の $x^p-a$（$a\in {\mathbb{F}}_p$）は $a^p=a$ より $(x-a{)}^p$ と分解する可約な多項式で、非分離拡大を与えない。正しくは有限体 $F$ 上の既約多項式はすべて分離的である。理由: $x^p=y^p$ なら $(x-y{)}^p=0$ で $x=y$ なので $x\mapsto x^p$ は単射、$F$ は有限なので全射でもある。既約な $f$ が $f^{\prime }=0$ なら $f={\sum }_k{b}_k{x}^{pk}$ と書け、$b_k=c_k^p$ となる $c_k\in F$ をとると $f=({\sum }_k{c}_k{x}^k{)}^p$ となって既約に反する。

• 分離次数を $\mathrm{deg}f$ の約数の中から適当に選んだり、$[K(\alpha ):K{]}_i$ を $\mathrm{deg}f$ と取り違えたりする誤り。正しくは $f(x)=g(x^{p^e})$, $g^{\prime }\ne 0$ と書いて $[K(\alpha ):K{]}_s=\mathrm{deg}g$、$[K(\alpha ):K{]}_i=p^e$（例: $x^4+t{x}^2+t$ なら $2$ と $2$ で、$[K(\alpha ):K{]}_i$ は $4$ ではない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  ${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_5$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_5(t)$ を考える。多項式
  $$f(x)=x^{10}+t{x}^5+t\in K[x]$$
  は $K$ 上既約である（$t$ に関するアイゼンシュタインの判定法による）。$K$ の代数閉包 $\overline{K}$ の中で $f$ の根 $\alpha$ を 1 つとり、$L=K(\alpha )$ とおく。分離次数 $[L:K{]}_s$ と非分離次数 $[L:K{]}_i$ を、組 $\left([L:K{]}_s,[L:K{]}_i\right)$ の形でこの順に求めよ。ただし $[L:K]=[L:K{]}_s[L:K{]}_i$ であり、$[L:K{]}_s$ は $L$ から $\overline{K}$ への $K$ 上の埋め込みの個数とする。

この技能を使う問題

• 難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）

  ${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元として、有理関数体 $K={\mathbb{F}}_3(t)$ を考える。多項式
  $$f(x)=x^6-t\in K[x]$$
  の $K$ 上の最小分解体を $L$（$K$ の代数閉包の中にとる）とする。拡大次数 $[L:K]$ と、$L/K$ の分離次数 $[L:K{]}_s$（$L$ に含まれる $K$ 上分離的な元全体のなす中間体 $L_s$ に対する $[L_s:K]$）を、この順に組 $([L:K],[L:K{]}_s)$ で求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  $q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

  このとき
  $$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
  であることを証明せよ。

  ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体、$t$ を ${\mathbb{F}}_3$ 上の不定元とし、$K={\mathbb{F}}_3(t)$ とおく。多項式
  $$f(x)=x^9-x^3-t\in K[x]$$
  の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中でとる）。$L$ における $K$ の分離閉包（$L$ の元のうち $K$ 上分離的なもの全体のなす体）を $K_s$ とし、$[L:K{]}_s=[K_s:K]$ を分離次数とする。また、$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ の個数を $N$ とする（$M=K$, $M=L$ も数える）。

  $$\left([L:K],[L:K{]}_s,N\right)$$
  をこの順に組で求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  ${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_2(t)$ を考える。多項式
  $$f(x)=(x^4+x^2+t)(x^3+t)\in K[x]$$
  の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中で考える）。拡大次数 $[L:K]$ と、$L$ の $K$ 上の自己同型群 $\mathrm{Aut}(L/K)$ の位数を、この順に組で求めよ。