体論・ガロア理論の問題

手順 1: 形式的微分で分離性を調べる。 標数は $5$ なので
$$f^{\prime }(x)=10x^9+5t{x}^4=0$$
である。よって $\gcd (f,f^{\prime })=f\ne 1$ となり、$f$ は重根をもつ（非分離的）。

手順 2: $f(x)=g(x^{5^e})$ と書き直す。 $x^{10}=(x^5{)}^2$ なので、$y=x^5$ とおくと
$$f(x)=g(x^5),g(y)=y^2+ty+t$$
と書ける（$e=1$）。

手順 3: $g$ が分離的であることを確かめる。 $g^{\prime }(y)=2y+t$。$g$ を $g^{\prime }$ で割ると、${\mathbb{F}}_5$ では $2\cdot 3=6=1$ なので
$$y^2+ty+t=(2y+t)(3y-t)+(t^2+t)$$
（実際 $(2y+t)(3y-t)=6y^2+ty-t^2=y^2+ty-t^2$）。余り $t^2+t=t(t+1)$ は $K$ の $0$ でない元（定数）なので $\gcd (g,g^{\prime })=1$、すなわち $g$ は相異なる 2 つの根 ${\beta }_1,{\beta }_2$ をもつ分離多項式である。

手順 4: $f$ の根を数える。 各 ${\beta }_i$ に対し $\overline{K}$ で ${\gamma }_i^5={\beta }_i$ となる ${\gamma }_i$ をとると、標数 $5$ では
$$x^5-{\beta }_i=x^5-{\gamma }_i^5=(x-{\gamma }_i{)}^5$$
なので
$$f(x)=(x^5-{\beta }_1)(x^5-{\beta }_2)=(x-{\gamma }_1{)}^5(x-{\gamma }_2{)}^5.$$
${\beta }_1\ne {\beta }_2$ より ${\gamma }_1\ne {\gamma }_2$。よって $f$ の相異なる根はちょうど $2$ 個（各重複度 $5$）である。

手順 5: 次数を求める。 $f$ は既約なので $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式であり、$[L:K]=\mathrm{deg}f=10$。$L$ から $\overline{K}$ への $K$ 上の埋め込みは $\alpha$ を $f$ の相異なる根に送るものと 1 対 1 に対応するので
$$[L:K{]}_s=2.$$
したがって
$$[L:K{]}_i=\frac{[L:K]}{[L:K{]}_s}=\frac{10}{2}=5.$$
（中間体 $K({\alpha }^5)$ を考えると、$[K({\alpha }^5):K]=\mathrm{deg}g=2$ は分離拡大、$[L:K({\alpha }^5)]=5$ は $x^5-{\alpha }^5$ による純非分離拡大になっている。）

答えは $(2,5)$。

標数 $5$ なので $f(x)=h(x^5)$, $h(y)=y^2+ty+t$ と書ける。$f^{\prime }(x)=10x^9+5t{x}^4=0$ なので $f$ は分離的でない。$h^{\prime }(y)=2y+t$ であり、$h$ は $K$ 上既約（$f$ が既約で $f=h(x^5)$ なので、$h$ が可約なら $f$ も可約になる。あるいはアイゼンシュタイン）かつ、$\gcd (h,h^{\prime })$ を調べると $h^{\prime }=2y+t$ の根 $y=-t/2$ で $h(-t/2)=t^2/4-t^2/2+t=-t^2/4+t\ne 0$ なので $h$ は分離的である。$\beta ={\alpha }^5$ とおくと $\beta$ は $h$ の根で、$[K(\beta ):K]=2$ かつ $K(\beta )/K$ は分離拡大。$\alpha$ は $K(\beta )$ 上 $x^5-\beta$ の根で、$[L:K]=\mathrm{deg}f=10$ より $[L:K(\beta )]=5$。$x^5-\beta =(x-\alpha {)}^5$ なので $L/K(\beta )$ は純非分離拡大。したがって $[L:K{]}_s=2$（$\overline{K}$ への埋め込みは $\beta$ の像の選び方 $2$ 通りで、各々 $\alpha$ の像は一意に決まる）、$[L:K{]}_i=10/2=5$。検算: $2\times 5=10=[L:K]$。