体論・ガロア理論の問題

方針. $\alpha$ の最小多項式は $f(x)=x^3-x-1$ で、$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$ である。$\beta ={\alpha }^2\in \mathbb{Q}(\alpha )$ なので、$\mathbb{Q}(\alpha )$ の基底 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ に関する「$\beta$ 倍写像」の表現行列 $M$ の特性多項式 $\det (xE-M)$ は $\beta$ を根にもつ（ケーリー・ハミルトンの定理）。これを計算する。

$\beta$ 倍写像の行列. ${\alpha }^3=\alpha +1$ を使うと
$$\beta \cdot 1={\alpha }^2,\beta \cdot \alpha ={\alpha }^3=1+\alpha ,\beta \cdot {\alpha }^2={\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3={\alpha }^2+\alpha .$$
それぞれを $1,\alpha ,{\alpha }^2$ の係数の列ベクトルにして並べると
$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right).$$

特性多項式. 余因子展開（第 $1$ 行）で
$$\det (xE-M)=\left|\begin{array}{ccc}x& -1& 0\\ 0& x-1& -1\\ -1& 0& x-1\end{array}\right|=x\{(x-1{)}^2-0\}-(-1)\{0\cdot (x-1)-(-1)(-1)\}+0$$
$$=x(x^2-2x+1)-1=x^3-2x^2+x-1.$$

（別解: $f$ の $3$ 根を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ とすると、解と係数の関係から ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$, ${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_3{\alpha }_1=-1$, ${\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3=1$。${\prod }_i(x-{\alpha }_i^2)$ の係数は $\sum {\alpha }_i^2=0^2-2(-1)=2$, $\sum {\alpha }_i^2{\alpha }_j^2=(-1{)}^2-2\cdot 1\cdot 0=1$, $\prod {\alpha }_i^2=1$ となり、同じ $x^3-2x^2+x-1$ が得られる。）

既約性の確認. $g(x)=x^3-2x^2+x-1$ が有理根をもつとすると、それは $\pm 1$ のどちらかであるが、$g(1)=-1\ne 0$, $g(-1)=-5\ne 0$ である。$3$ 次式で有理根をもたないので $g$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。

検算. ${\beta }^3-2{\beta }^2+\beta -1={\alpha }^6-2{\alpha }^4+{\alpha }^2-1=(\alpha +1{)}^2-2({\alpha }^2+\alpha )+{\alpha }^2-1=0$。

よって、$\beta$ の最小多項式は $x^3-2x^2+x-1$ である。

$x^3-x-1$ の 3 根を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ とすると、解と係数の関係より $e_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$、$e_2={\sum }_{i<j}{\alpha }_i{\alpha }_j=-1$、$e_3={\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3=1$。

${\beta }_i={\alpha }_i^2$ の基本対称式を求める。
- $\sum {\beta }_i=e_1^2-2e_2=0+2=2$
- ${\sum }_{i<j}{\beta }_i{\beta }_j={\sum }_{i<j}({\alpha }_i{\alpha }_j{)}^2=e_2^2-2e_1{e}_3=1-0=1$
- ${\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3=e_3^2=1$

よって $\beta$ を根にもつ 3 次式は $x^3-2x^2+x-1$。

これが最小多項式であること: $x^3-x-1$ が既約なので $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$。$\beta ={\alpha }^2\in \mathbb{Q}(\alpha )$ なので $[\mathbb{Q}(\beta ):\mathbb{Q}]$ は 3 の約数で 1 か 3。$\beta \in \mathbb{Q}$ なら ${\alpha }^2=q$ で $\alpha =\pm \sqrt{q}$ は次数 2 以下となり矛盾するので、$\beta \notin \mathbb{Q}$ であり次数は 3。よって $x^3-2x^2+x-1$（3 次モニックで $\beta$ を根にもつ）が最小多項式。

検算: ${\alpha }^3=\alpha +1$ より ${\beta }^2={\alpha }^4={\alpha }^2+\alpha$、${\beta }^3={\alpha }^6=(\alpha +1{)}^2={\alpha }^2+2\alpha +1$。したがって ${\beta }^3-2{\beta }^2+\beta -1=({\alpha }^2+2\alpha +1)-2({\alpha }^2+\alpha )+{\alpha }^2-1=0$。