根の多項式で表された元の最小多項式

$α$ の最小多項式が既知のとき、 $β = g (α)$ について、基底 $1, α, \dots, α^{n - 1}$ に関する $β$ 倍写像の特性多項式、または共役 $g (α_{i})$ をすべて掛けた $\prod_{i} (x - g (α_{i}))$ を計算し、重複を除いて $β$ の最小多項式を求められる（例: $x^{3} - 3 x + 1$ の根 $α$ に対する $α^{2} - 2$ ）

前提

最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
3 変数の対称式（数学I 数と式）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）

説明

$α$ の $Q$ 上の最小多項式 $f (x)$ （次数 $n$ ）がわかっているとき、 $β = g (α)$ （ $g$ は有理数係数の多項式）の最小多項式を、移項と 2 乗のくり返しに頼らず機械的に求める方法を学びます。 $β$ を掛ける写像を $1, α, \dots, α^{n - 1}$ を基底とする行列で表してその特性多項式を計算するか、 $f$ の根 $α_{1}, \dots, α_{n}$ を使って $\prod_{i} (x - g (α_{i}))$ を対称式として計算します。根号で書けない数（3 次方程式の根など）の多項式で表された元を扱う場面で特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$V = Q (α)$ は $1, α, \dots, α^{n - 1}$ を基底とする $Q$ 上の $n$ 次元ベクトル空間です（ $α^{n}$ 以上は $f (α) = 0$ を使って次数 $n - 1$ 以下に下げられる）。 $v \mapsto β v$ は $V$ の線形変換なので、 $β α^{j} = \sum_{k} m_{k j} α^{k}$ （ $m_{k j} \in Q$ 、 $j, k = 0, \dots, n - 1$ ）と書いて $n$ 次正方行列 $M = (m_{k j})$ を作れます。この等式は「 $g (x) x^{j} - \sum_{k} m_{k j} x^{k}$ が $f (x)$ で割り切れる」という多項式の等式から来ているので、 $α$ を $f$ の別の根 $α_{i}$ に置きかえても成り立ちます。つまり行ベクトル $w_{i} = (1, α_{i}, \dots, α_{i}^{n - 1})$ について $w_{i} M = g (α_{i}) w_{i}$ であり、 $w_{i}$ は $M$ の（左からの）固有ベクトル、 $g (α_{i})$ は $M$ の固有値です。

ここで $α_{1}, \dots, α_{n}$ が相異なることを確かめます。 $f$ が重根 $α_{i}$ をもつと $f (α_{i}) = f^{'} (α_{i}) = 0$ です。一方 $f^{'}$ は $n - 1$ 次の $0$ でない有理数係数の多項式で、 $f$ と $f^{'}$ の最大公約数は $f$ を割り切るので、 $f$ の既約性から $1$ か $f$ のどちらかですが、次数が $n$ 未満の $f^{'}$ を $f$ は割り切れないので $1$ です。ユークリッドの互除法から $u (x) f (x) + v (x) f^{'} (x) = 1$ となる有理数係数の多項式 $u, v$ がとれ、 $x = α_{i}$ を代入すると $0 = 1$ となって矛盾します。よって $f$ は重根をもたず、 $α_{1}, \dots, α_{n}$ は相異なります。すると $w_{1}, \dots, w_{n}$ を行に並べた行列 $W$ の行列式はファンデルモンドの行列式
$det W = 1 \leq i < j \leq n \prod (α_{j} - α_{i})$
で、どの因子も $0$ でないので $det W \neq = 0$ 、 $W$ は可逆です。 $W M = D W$ （ $D = diag (g (α_{1}), \dots, g (α_{n}))$ ）より $W M W^{- 1} = D$ と対角化でき、相似な行列は特性多項式が等しいので
$χ (x) = det (x E - M) = det (x E - D) = i = 1 \prod n (x - g (α_{i}))$
となります。 $M$ は有理数を成分とするので、これは有理数係数の多項式です。

次に $β$ の最小多項式 $m (x)$ との関係です。 $m (g (x))$ は $x = α$ で $0$ になるので $f (x)$ で割り切れ、 $m (g (α_{i})) = 0$ 、つまり $χ$ の根はすべて $m$ の根です。 $χ$ を $Q$ 上で既約なモニック多項式の積に分けると、各因子は $m$ と共通の根をもち、既約なモニック多項式どうしが共通根をもてば（最大公約数を考えて）一致するので、各因子は $m$ そのものです。したがって $χ (x) = m (x)^{k}$ （ $k = n / [Q (β) : Q]$ ）です。 $χ$ が重根をもたなければ $χ = m$ 、重根をもてば重複を除いた（同じ因子を 1 つにまとめた）ものが $m$ です。

手順

$α$ の最小多項式 $f (x)$ （次数 $n$ ）を確認し、 $α^{n}$ を $1, α, \dots, α^{n - 1}$ の一次結合で表す式（ $f (α) = 0$ からの次数下げの式）を用意する
$β \cdot 1, β α, \dots, β α^{n - 1}$ を計算して次数を下げ、それぞれの係数を第 $1, 2, \dots, n$ 列に並べた行列 $M$ を作る
特性多項式 $χ (x) = det (x E - M)$ を計算する（ $n = 3$ なら $χ (x) = x^{3} - (tr M) x^{2} + (主小行列式の和) x - det M$ ）。代わりに $f$ の根の対称式として $\prod_{i} (x - g (α_{i}))$ を計算してもよい
$χ$ が重根をもつか（ $χ = m^{k}$ で $k \geq 2$ か）を調べる。既約性の判定で $χ$ が既約とわかれば重根はない
重根がなければ $χ$ を、あれば重複を除いた因子を $β$ の最小多項式とする

例題

$α = 32$ （ $x^{3} - 2$ の実数の根）とし、 $β = α + α^{2}$ とおく。 $β$ の $Q$ 上の最小多項式（最高次の係数が $1$ 、変数は $x$ ）を求めよ。

例題の解答

手順 1: $x^{3} - 2$ はアイゼンシュタインの判定法（ $p = 2$ ）で既約なので $α$ の最小多項式で、 $n = 3$ 。次数下げの式は $α^{3} = 2$ 、 $α^{4} = 2 α$ 。

手順 2: 基底 $1, α, α^{2}$ について
$β \cdot 1 = α + α^{2}$ → 係数 $(0, 1, 1)$
$β α = α^{2} + α^{3} = 2 + α^{2}$ → 係数 $(2, 0, 1)$
$β α^{2} = α^{3} + α^{4} = 2 + 2 α$ → 係数 $(2, 2, 0)$
これらを列に並べて
$M = 011201220$

手順 3: $tr M = 0$ 。主小行列式は (1,2 行・列) $0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = - 2$ 、(1,3) $0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = - 2$ 、(2,3) $0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = - 2$ で和は $- 6$ 。 $det M = 0 \cdot (0 - 2) - 2 \cdot (0 - 2) + 2 \cdot (1 - 0) = 6$ 。よって
$χ (x) = x^{3} - 6 x - 6$

手順 4: $χ$ の最高次以外の係数 $0, - 6, - 6$ は $2$ で割り切れ、定数項 $- 6$ は $4$ で割り切れないので、アイゼンシュタインの判定法（ $p = 2$ ）で既約。よって重根はなく、 $χ = m^{k}$ で $k = 1$ 。

手順 5: $β$ の最小多項式は $x^{3} - 6 x - 6$ 。（確かめ: $β^{3} = α^{3} + 3 α^{4} + 3 α^{5} + α^{6} = 2 + 6 α + 6 α^{2} + 4 = 6 β + 6$ 。）

答え: $x^{3} - 6 x - 6$

よくある誤り

特性多項式がいつでも最小多項式だとしてしまう誤り。例えば $α = 42$ （最小多項式 $x^{4} - 2$ ）、 $β = α^{2}$ では、根 $\pm 42, \pm 42 i$ の 2 乗が $2, 2, - 2, - 2$ なので $χ (x) = (x - 2)^{2} (x + 2)^{2} = (x^{2} - 2)^{2}$ となる。正しくは $χ = m^{k}$ なので重複を除き、最小多項式は $x^{2} - 2$ 。
$β α^{j}$ を計算したあと次数を下げ忘れる誤り。基底は $1, \dots, α^{n - 1}$ なので、 $α = 32$ なら $α^{3} + α^{4}$ は $2 + 2 α$ に直してから係数 $(2, 2, 0)$ を読み取る。
$det (M - λ E)$ をそのまま答えて最高次の係数を $- 1$ のままにしてしまう誤り。 $n$ が奇数なら $det (M - λ E) = - det (λ E - M)$ なので、最小多項式はモニックな $det (x E - M)$ （上の例では $- x^{3} + 6 x + 6$ ではなく $x^{3} - 6 x - 6$ ）。
$α$ を根にもつが既約でない多項式から出発してしまう誤り。例えば $α = 2$ を $x^{4} - 4$ の根として基底 $1, α, α^{2}, α^{3}$ をとると、これらは一次独立でなく（ $α^{2} = 2$ ）行列が作れない。正しくは既約な最小多項式 $x^{2} - 2$ から基底 $1, α$ をとる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$α \in C$ を多項式 $x^{3} - x - 1$ の根の $1$ つとし、 $β = α^{2}$ とおく。 $β$ の $Q$ 上のモニックな最小多項式を、変数 $x$ の多項式として求めよ。ただし $x^{3} - x - 1$ が $Q$ 上既約であることは用いてよい。

根の多項式で表された元の最小多項式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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