体論・ガロア理論の問題

$\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\zeta )$ であること. ${\eta }_1=\zeta +{\zeta }^4$, ${\eta }_2={\zeta }^2+{\zeta }^3$ とおく。$1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4=0$ より
$${\eta }_1+{\eta }_2=-1,{\eta }_1{\eta }_2={\zeta }^3+{\zeta }^4+{\zeta }^6+{\zeta }^7={\zeta }^3+{\zeta }^4+\zeta +{\zeta }^2=-1.$$
よって $({\eta }_1-{\eta }_2{)}^2=({\eta }_1+{\eta }_2{)}^2-4{\eta }_1{\eta }_2=1+4=5$。${\eta }_1=2\cos \frac{2\pi }{5}>0>2\cos \frac{4\pi }{5}={\eta }_2$ なので ${\eta }_1-{\eta }_2=\sqrt{5}$ であり、
$${\eta }_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},{\eta }_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$$
特に $\sqrt{5}\in \mathbb{Q}(\zeta )$ で、$\alpha \in \mathbb{Q}(\zeta )$ である。

共役の決定. $\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q}$ はガロア拡大で、$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q})=\{{\sigma }_k:\zeta \mapsto {\zeta }^k\mid k=1,2,3,4\}$。$\sqrt{5}={\eta }_1-{\eta }_2$ なので
- ${\sigma }_1,{\sigma }_4$ は ${\eta }_1,{\eta }_2$ をそれぞれ固定し、$\sqrt{5}\mapsto \sqrt{5}$
- ${\sigma }_2,{\sigma }_3$ は ${\eta }_1$ と ${\eta }_2$ を入れかえ、$\sqrt{5}\mapsto -\sqrt{5}$

したがって $\alpha$ の像は
$$\zeta +\sqrt{5},{\zeta }^4+\sqrt{5},{\zeta }^2-\sqrt{5},{\zeta }^3-\sqrt{5}$$
であり、これらは相異なる（${\zeta }^k$ の値が相異なり、$\sqrt{5}$ の符号が等しい組どうしでは ${\zeta }^k$ 部分が異なる。符号が異なる組では実部が $\pm \sqrt{5}$ ずれて異なる）。$\alpha$ の最小多項式は $\alpha$ のガロア共役の全体を根とする多項式
$$m(x)=\prod _{k=1}^4(x-{\sigma }_k(\alpha ))$$
であり、次数は $4$ である。

計算. $s=\sqrt{5}$ とおく。
$$(x-\zeta -s)(x-{\zeta }^4-s)=(x-s{)}^2-{\eta }_1(x-s)+1=(x-s{)}^2+\frac{1-s}{2}(x-s)+1.$$
ここで $(x-s{)}^2=x^2-2sx+5$、$\frac{1-s}{2}(x-s)=\frac{x+5}{2}-\frac{s(x+1)}{2}$ なので
$$A:=x^2+\frac{x}{2}+\frac{17}{2}-s\cdot \frac{5x+1}{2}.$$
同様に $(x-{\zeta }^2+s)(x-{\zeta }^3+s)=(x+s{)}^2-{\eta }_2(x+s)+1$ は $A$ で $s$ を $-s$ に置き換えたもの
$$B:=x^2+\frac{x}{2}+\frac{17}{2}+s\cdot \frac{5x+1}{2}$$
である。$P=x^2+\frac{x}{2}+\frac{17}{2}$, $Q=\frac{5x+1}{2}$ とおくと
$$m(x)=AB=P^2-5Q^2.$$
$$P^2=x^4+x^3+\frac{69}{4}{x}^2+\frac{17}{2}x+\frac{289}{4},5Q^2=\frac{125x^2+50x+5}{4}$$
より
$$m(x)=x^4+x^3+\frac{69-125}{4}{x}^2+\frac{34-50}{4}x+\frac{289-5}{4}=x^4+x^3-14x^2-4x+71.$$

（検算: $\alpha \approx 2.54509+0.95106i$ を代入すると実部・虚部ともほぼ $0$ になる。）

よって求める最小多項式は $x^4+x^3-14x^2-4x+71$。

$\zeta +{\zeta }^4=2\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ なので $\sqrt{5}=1+2(\zeta +{\zeta }^4)\in \mathbb{Q}(\zeta )$。よって $\alpha \in \mathbb{Q}(\zeta )$ で次数は $4$ 以下。

共役を求める。${\sigma }_k:\zeta \mapsto {\zeta }^k$ ($k=1,2,3,4$) とすると、${\sigma }_1,{\sigma }_4$ は $\sqrt{5}$ を固定し、${\sigma }_2,{\sigma }_3$ は $\sqrt{5}\mapsto -\sqrt{5}$。したがって共役は $\zeta +s,{\zeta }^4+s,{\zeta }^2-s,{\zeta }^3-s$（$s=\sqrt{5}$）で、互いに異なる（実部・虚部を見ればわかる）ので次数は $4$。

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上で組にして展開する。$c=\zeta +{\zeta }^4=(s-1)/2$ として
$(x-\zeta -s)(x-{\zeta }^4-s)=(x-s{)}^2-c(x-s)+1=x^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}s\right)x+\frac{17}{2}-\frac{1}{2}s$。
もう一方は $s\to -s$ としたもの。積は $A=x^2+\frac{x}{2}+\frac{17}{2}$, $B=-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}$ として $A^2-5B^2$。
$A^2=x^4+x^3+\frac{69}{4}{x}^2+\frac{17}{2}x+\frac{289}{4}$、$5B^2=\frac{125x^2+50x+5}{4}$。
差: $x^4+x^3-14x^2-4x+71$。

検算: 根の和は $-1$ で、共役の和 $(\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4)+(s+s-s-s)=-1$ と一致。数値的にも $\alpha \approx 2.5451+0.9511i$ を代入すると実部・虚部ともに $0$ になる。次数 $4$ で既約。